🎨 2026 TYT: Çemberde Karmaşık Sayılarla Dönüşüm
Karmaşık sayılar, sadece sayılardan ibaret değil, aynı zamanda geometrik dönüşümleri anlamamıza da yardımcı olan süper güçlere sahip! Özellikle çember üzerindeki noktaları ötelemek ve döndürmek, TYT'de karşına çıkabilecek heyecan verici konulardan. Gel, bu dönüşümleri birlikte keşfedelim!
🍎 Karmaşık Sayılarla Öteleme
Bir karmaşık sayıyı ötelemek demek, onu karmaşık düzlemde belirli bir vektör boyunca kaydırmak anlamına gelir. Bu işlemi yaparken aslında çok basit bir şey yapıyoruz:
- ➕ Adım 1: Öteleme vektörünü bir karmaşık sayı olarak ifade et. Örneğin, 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelemek için vektörümüz $3 + 2i$ olur.
- ➕ Adım 2: Ötelemek istediğin karmaşık sayıya, öteleme vektörünü ekle. Yani, $z$ karmaşık sayısını ötelemek istiyorsan, yeni karmaşık sayımız $z + (3 + 2i)$ olur.
Örnek: $z = 1 + i$ karmaşık sayısını $3 + 2i$ vektörü ile öteleyelim.
Yeni karmaşık sayı: $(1 + i) + (3 + 2i) = 4 + 3i$
🔄 Karmaşık Sayılarla Döndürme
Bir karmaşık sayıyı döndürmek, onu karmaşık düzlemde orijin etrafında belirli bir açıyla döndürmek demektir. Bu işlem biraz daha karmaşık gibi görünse de, aslında çok şık bir matematiksel ifadeye sahip:
- 📐 Adım 1: Döndürme açısını ($\theta$) belirle.
- 📐 Adım 2: $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ formülünü kullanarak döndürme faktörünü hesapla. Bu formül, Euler formülü olarak bilinir ve karmaşık sayılar ile trigonometri arasındaki bağlantıyı gösterir.
- 📐 Adım 3: Döndürmek istediğin karmaşık sayıyı ($z$), döndürme faktörü ile çarp. Yani, yeni karmaşık sayımız $z \cdot e^{i\theta}$ olur.
Örnek: $z = 1 + i$ karmaşık sayısını $\frac{\pi}{2}$ radyan (90 derece) döndürelim.
Döndürme faktörü: $e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i \cdot 1 = i$
Yeni karmaşık sayı: $(1 + i) \cdot i = i + i^2 = i - 1 = -1 + i$
❓ Örnek Soru ve Çözümü
Soru: $z = 2 + i$ karmaşık sayısı, önce $1 - i$ vektörü ile öteleniyor, sonra orijin etrafında $\pi$ radyan döndürülüyor. Sonuçta elde edilen karmaşık sayı nedir?
Çözüm:
- 🚀 Adım 1 (Öteleme): $z' = z + (1 - i) = (2 + i) + (1 - i) = 3$
- 🚀 Adım 2 (Döndürme): Döndürme faktörü: $e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1$
$z'' = z' \cdot (-1) = 3 \cdot (-1) = -3$
Cevap: $-3$
✨ Unutma!
Karmaşık sayılarla dönüşümler, sadece formülleri ezberlemekle kalmaz, aynı zamanda uzamsal düşünme yeteneğini de geliştirir. Bol bol pratik yaparak, bu konudaki ustalığını artırabilirsin! Başarılar!
