📐 2026 TYT Geometri: Açıortay ve Kenarortay ile Alan İlişkisi Nedir?
Açıortay ve kenarortay, üçgenlerin önemli yardımcı elemanlarıdır. Bu elemanların üçgenin alanı ile nasıl bir ilişkisi olduğunu anlamak, geometri sorularını çözerken işimizi kolaylaştırır. Gelin, bu ilişkiyi yakından inceleyelim.
🧮 Açıortay ve Alan İlişkisi
Bir üçgende açıortay, açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Açıortayın özelliği, ayırdığı kenarların uzunlukları ile alanlar arasında bir orantı oluşturmasıdır.
- 📏 İç Açıortay Teoremi: Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısına ait iç açıortay $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyorsa, $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$ olur. Bu teorem, alanlar arasındaki ilişkiyi anlamamıza yardımcı olur.
- 📐 Alan Oranı: Aynı üçgende, $ABD$ üçgeninin alanı $S_1$ ve $ADC$ üçgeninin alanı $S_2$ ise, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{|AB|}{|AC|}$ olur. Yani, açıortayın ayırdığı kenarların uzunlukları oranı, oluşan üçgenlerin alanları oranına eşittir.
Örneğin, bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm ve $A$ açısına ait iç açıortay $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyorsa, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ olur. Bu, $ABD$ üçgeninin alanının, $ADC$ üçgeninin alanının $\frac{3}{4}$'ü olduğu anlamına gelir.
📏 Kenarortay ve Alan İlişkisi
Bir üçgende kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Kenarortayın en önemli özelliği, üçgeni iki eşit alana bölmesidir.
- 📌 Kenarortay Teoremi: Bir $ABC$ üçgeninde, $BC$ kenarına ait kenarortay $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyorsa (yani $|BD| = |DC|$ ise), $ABD$ üçgeninin alanı, $ADC$ üçgeninin alanına eşittir.
- 📐 Alan Eşitliği: Eğer $ABC$ üçgeninin alanı $S$ ise, $ABD$ üçgeninin alanı $\frac{S}{2}$ ve $ADC$ üçgeninin alanı da $\frac{S}{2}$ olur.
Örneğin, bir $ABC$ üçgeninin alanı $40$ cm$^2$ ise ve $BC$ kenarına ait kenarortay çizilirse, oluşan her iki üçgenin alanı $20$ cm$^2$ olacaktır.
❓ Soru Çözümü İçin İpuçları
* 🔍 Sorularda açıortay veya kenarortay gördüğünüzde, hemen alanlar arasındaki orantıyı düşünün.
* 📐 Açıortay teoremini kullanarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulun ve alanları buna göre oranlayın.
* 📌 Kenarortayın üçgeni iki eşit alana böldüğünü unutmayın.
* 📝 Soruları çözerken şekil çizmek, ilişkileri daha net görmenize yardımcı olacaktır.
💡 Örnek Soru
Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısına ait iç açıortay $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $|AB| = 9$ cm, $|AC| = 12$ cm ve $ABC$ üçgeninin alanı $42$ cm$^2$ ise, $ABD$ üçgeninin alanı kaç cm$^2$'dir?
Çözüm:
* Açıortay teoremi gereği, $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$'tür.
* $ABD$ üçgeninin alanına $3x$ ve $ADC$ üçgeninin alanına $4x$ dersek, $3x + 4x = 42$ olur.
* $7x = 42$ ise, $x = 6$'dır.
* $ABD$ üçgeninin alanı $3x = 3 \cdot 6 = 18$ cm$^2$'dir.
Cevap: $ABD$ üçgeninin alanı $18$ cm$^2$'dir.
