🧮 Çemberde Teğet Denklemi Nasıl Bulunur?
Çemberin denklemi ve teğetin eğimi verildiğinde, teğet denklemini bulmak bazen karmaşık gelebilir. Ama endişelenmeyin, birkaç basit yöntemle bu işin üstesinden gelebiliriz! İşte size adım adım rehber:
📐 Yöntem 1: Türev Kullanarak
Türev, bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki eğimini bulmamıza yarar. Çemberin denklemini bir fonksiyon olarak düşünerek, teğet noktasındaki eğimi türev yardımıyla bulabiliriz.
- 🍎 Öncelikle çemberin denklemini yazalım: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Burada $(a, b)$ çemberin merkezi ve $r$ yarıçapıdır.
- 🧪 Denklemi $y$'ye göre türetelim. Unutmayın, zincir kuralını kullanmamız gerekecek!
- 🧩 Türev sonucunda elde ettiğimiz ifade, teğetin eğimini verecektir. Bu eğimi verilen değere eşitleyerek, teğet noktasının koordinatlarını bulabiliriz.
- ✏️ Teğet noktasının koordinatlarını ve eğimi kullanarak, teğetin denklemini $y = mx + n$ şeklinde yazabiliriz.
🧭 Yöntem 2: Diskriminant (Delta) Kullanarak
Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri hakkında bilgi verir. Teğet, çemberi sadece bir noktada kestiği için, teğet denklemini çember denklemine eşitleyerek elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır.
- 🎯 Teğet denklemini $y = mx + n$ şeklinde yazalım. Burada $m$ verilen eğimdir, $n$ ise bilinmeyen y-kesenidir.
- 🔗 Teğet denklemini çember denkleminde yerine koyalım: $(x - a)^2 + (mx + n - b)^2 = r^2$.
- 🧮 Elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemi düzenleyelim ve diskriminantını (Δ) bulalım. Diskriminant, $Δ = B^2 - 4AC$ şeklinde hesaplanır.
- ✅ Diskriminantı sıfıra eşitleyerek ($Δ = 0$), $n$ değerini bulalım. Bu değer, teğetin y-kesenini verecektir.
- ✨ $m$ (eğim) ve $n$ (y-keseni) değerlerini teğet denkleminde yerine koyarak, teğetin denklemini elde edebiliriz.
❓ Örnek Soru ve Çözümü
Soru: Merkezi $(2, 3)$ olan ve yarıçapı $5$ birim olan bir çemberin, eğimi $ rac{3}{4}$ olan teğet denklemini bulunuz.
Çözüm:
1. Teğet denklemini $y = mx + n$ şeklinde yazalım: $y = rac{3}{4}x + n$.
2. Çember denklemi: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.
3. Teğet denklemini çember denkleminde yerine koyalım: $(x - 2)^2 + ( rac{3}{4}x + n - 3)^2 = 25$.
4. Denklemi düzenleyip diskriminantı sıfıra eşitleyerek $n$ değerini bulalım. Bu işlem biraz uzun sürebilir.
5. Bulduğumuz $n$ değerini teğet denkleminde yerine koyarak sonuca ulaşırız.
Bu yöntemlerle, çemberde eğimi verilen teğet denklemini kolayca bulabilirsiniz. Bol pratik yaparak, bu konuyu daha iyi anlayabilirsiniz! Başarılar!
