9. Sınıf Köklü Gösterimlerin Eşleniğini Bulma Nedir?

Question

Köklü ifadelerin eşleniğini bulurken paydayı rasyonel yapmamız gerekiyor ama tam olarak nasıl yapacağımı karıştırıyorum. Mesela √3'ün eşleniği yine kendisi mi oluyor, yoksa farklı bir kural mı var? Paydada köklü sayı varsa işlem değişiyor mu?

Answer 1

Köklü Gösterimlerin Eşleniğini Bulma

Matematikte, köklü ifadelerin eşleniği (veya eşlenik kökü), köklü ifadenin paydasını rasyonel hale getirmek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle paydada köklü bir ifade varsa, bu ifadenin eşleniği ile çarparak paydayı kökten kurtarabiliriz.

Eşlenik Nedir?

Bir köklü ifadenin eşleniği, köklü ifadenin işaretinin değiştirilmiş halidir. Örneğin:

• \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \)'dir.
• \( 5 + \sqrt{3} \) ifadesinin eşleniği \( 5 - \sqrt{3} \)'tür.

Eşlenik Kullanımının Amacı

Eşlenik, paydada köklü ifade varsa bu ifadeyi rasyonel hale getirmek için kullanılır. İki kare farkı formülünden (\( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \)) yararlanarak köklü ifadeyi paydadan kaldırırız.

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) ifadesini rasyonel yapalım.

• Pay ve paydayı \( \sqrt{5} \) ile çarparız: \( \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \).
• Sonuç: \( \frac{\sqrt{5}}{5} \).

Örnek 2: \( \frac{2}{3 + \sqrt{2}} \) ifadesini rasyonel yapalım.

• Pay ve paydayı eşlenik olan \( 3 - \sqrt{2} \) ile çarparız.
• İşlem: \( \frac{2 \cdot (3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} \).
• Payda kısmı: \( 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7 \).
• Sonuç: \( \frac{6 - 2\sqrt{2}}{7} \).

Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Eşlenik, sadece iki terimli köklü ifadelerde kullanılır.
• Eşlenik ile çarpma işlemi yaparken pay ve payda aynı ifade ile çarpılmalıdır.
• Sonucun sadeleştirilip sadeleştirilemeyeceğini kontrol etmeyi unutmayın.

Answer 2

9. Sınıf Köklü Gösterimlerin Eşleniğini Bulma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt{5} + 2 \) ifadesinin eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \sqrt{5} - 2 \)
b) \( -\sqrt{5} + 2 \)
c) \( \sqrt{5} + 2 \)
d) \( 2 - \sqrt{5} \)
e) \( \sqrt{5} \cdot 2 \)
Cevap: a) \( \sqrt{5} - 2 \)
Çözüm: Köklü ifadenin eşleniği, aradaki işaretin tersiyle yazılır. Burada "+" işareti "-" olarak değişir.

Soru 2: \( 3\sqrt{7} - \sqrt{2} \) ifadesiyle çarpıldığında sonucu rasyonel yapan eşlenik ifade hangisidir?
a) \( 3\sqrt{7} + \sqrt{2} \)
b) \( -3\sqrt{7} - \sqrt{2} \)
c) \( \sqrt{2} - 3\sqrt{7} \)
d) \( 3\sqrt{2} + \sqrt{7} \)
e) \( 7\sqrt{3} + 2 \)
Cevap: a) \( 3\sqrt{7} + \sqrt{2} \)
Çözüm: Eşlenik, köklü terimlerin işaretlerinin terslenmesiyle bulunur. Çarpımda \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) formülü uygulanarak kökten kurtulunur.

Soru 3: \( \frac{1}{\sqrt{3} - 1} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapmak için aşağıdaki eşleniklerden hangisiyle genişletilmelidir?
a) \( \sqrt{3} + 1 \)
b) \( \sqrt{3} - 1 \)
c) \( 1 - \sqrt{3} \)
d) \( -\sqrt{3} - 1 \)
e) \( \sqrt{3} \cdot 1 \)
Cevap: a) \( \sqrt{3} + 1 \)
Çözüm: Paydayı rasyonel yapmak için pay ve payda, paydanın eşleniği (\( \sqrt{3} + 1 \)) ile çarpılır. Böylece payda \( (\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 2 \) olur.

Answer 3

9. Sınıf Köklü Gösterimlerin Eşleniğini Bulma Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( \sqrt{5} + 3 \) ifadesinin eşleniği ______'dir.

2. \( 2 - \sqrt{7} \) ifadesinin eşleniği ______'dir.

3. \( \sqrt{a} + b \) ifadesinin eşleniği ______'dir (a > 0).

Eşleştirme

• A) \( 4 + \sqrt{2} \)
• B) \( \sqrt{3} - 1 \)
• C) \( -\sqrt{6} - 5 \)

Eşleniklerini bulunuz:

• 1) \( 4 - \sqrt{2} \)
• 2) \( -\sqrt{6} + 5 \)
• 3) \( \sqrt{3} + 1 \)

Doğru/Yanlış

1. \( \sqrt{8} - 2 \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{8} + 2 \)'dir. (D/Y)

2. \( 3\sqrt{2} + 4 \) ifadesinin eşleniği \( -3\sqrt{2} + 4 \)'tür. (D/Y)

3. \( \sqrt{x} - y \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{x} + y \)'dir (x > 0). (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. \( \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \) ifadesini paydayı rasyonel yaparak yazınız.

2. \( \sqrt{12} + 3 \) ifadesinin eşleniğini bulunuz.

Kısa Test

1. \( 7 - \sqrt{10} \) ifadesinin eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?

a) \( 7 + \sqrt{10} \) b) \( -7 + \sqrt{10} \) c) \( \sqrt{10} - 7 \)

2. \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) ifadesinin eşleniği nedir?

a) \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) b) \( -\sqrt{3} - \sqrt{2} \) c) \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \)

Cevaplar:

1: \( \sqrt{5} - 3 \), 2: \( 2 + \sqrt{7} \), 3: \( \sqrt{a} - b \)

A-1, B-3, C-2

1: D, 2: Y, 3: D

1: \( \sqrt{5} + 2 \), 2: \( \sqrt{12} - 3 \)

1: a, 2: a

Answer 4

9. Sınıf Köklü Gösterimlerin Eşleniğini Bulma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki köklü ifadelerden hangisinin eşleniği \( \sqrt{5} + 2 \) şeklindedir?
a) \( \sqrt{5} - 2 \)
b) \( -\sqrt{5} + 2 \)
c) \( \sqrt{5} + 2 \)
d) \( 2 - \sqrt{5} \)
e) \( \sqrt{5} \cdot 2 \)
Cevap: a) \( \sqrt{5} - 2 \)
Çözüm: Köklü ifadelerde eşlenik, aynı terimlerin işaret değiştirmiş halidir. \( \sqrt{5} + 2 \)'nin eşleniği \( \sqrt{5} - 2 \) olur.

Soru 2: \( \frac{3}{\sqrt{7} - 1} \) ifadesini paydayı rasyonel yapmak için hangi ifade ile genişletmeliyiz?
a) \( \sqrt{7} \)
b) \( \sqrt{7} + 1 \)
c) \( \sqrt{7} - 1 \)
d) \( 1 - \sqrt{7} \)
e) \( 7 + \sqrt{1} \)
Cevap: b) \( \sqrt{7} + 1 \)
Çözüm: Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği (\( \sqrt{7} + 1 \)) ile çarpmalıyız.

Soru 3: \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) ifadesinin eşleniği ile çarpımı kaçtır?
a) 1
b) 5
c) \( \sqrt{6} \)
d) \( 3 - 2 \)
e) \( 3 + 2 \)
Cevap: a) 1
Çözüm: Eşlenik çarpımı \( (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1 \) olur.

Soru 4: \( x = \sqrt{11} + 3 \) olduğuna göre, \( \frac{1}{x} \) ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında payda hangisi olur?
a) \( 11 - 9 \)
b) \( \sqrt{11} - 3 \)
c) \( 3 - \sqrt{11} \)
d) \( 11 + 3 \)
e) \( \sqrt{11} \cdot 3 \)
Cevap: b) \( \sqrt{11} - 3 \)
Çözüm: Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı eşlenik (\( \sqrt{11} - 3 \)) ile çarparız, payda bu ifade olur.