Açıortay teoremi, üçgenlerin iç ve dış açıortaylarının kenarlarla olan ilişkisini inceler. ALES gibi sınavlarda karşımıza çıkan zor soruları çözebilmek için bu teoremi çok iyi anlamamız gerekiyor.
Bu tip sorularda genellikle açıortay teoremi direkt olarak uygulanabilir durumdadır. Ancak verilen oranları doğru bir şekilde kurmak ve bilinmeyenleri bulmak önemlidir.
Örnek Soru:
ABC üçgeninde, [AD] iç açıortaydır. |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 7 cm ise |BD| kaç cm'dir?
Çözüm:
Açıortay teoremi gereği, $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$.
Buradan, $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ olur.
Ayrıca, $|BD| + |DC| = |BC| = 7$ cm.
$|BD| = 3x$ ve $|DC| = 4x$ dersek, $3x + 4x = 7$ ve $x = 1$ olur.
Dolayısıyla, $|BD| = 3x = 3$ cm'dir.
Bu tip sorularda açıortay teoremi ile birlikte Pisagor teoremi de kullanılmalıdır. Genellikle dik üçgenler içinde açıortaylar bulunur.
Örnek Soru:
ABC dik üçgeninde, [AB] ⊥ [BC], [BD] açıortaydır. |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm ise |AD| kaç cm'dir?
Çözüm:
Öncelikle, Pisagor teoremi ile |AC|'yi bulalım: $|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
Dolayısıyla, $|AC| = 15$ cm.
Açıortay teoremi gereği, $\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
$|AD| = 3x$ ve $|DC| = 4x$ dersek, $|AD| + |DC| = |AC| = 15$ cm.
Bu durumda, $3x + 4x = 15$ ve $x = \frac{15}{7}$ olur.
Dolayısıyla, $|AD| = 3x = 3 \cdot \frac{15}{7} = \frac{45}{7}$ cm'dir.
Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Bu bilgi, alan sorularında işimize yarayabilir.
