Aritmetik dizi genel terim formülü (an = a1 + (n-1)r)

Question

Bu formülü kullanırken nerede hata yaptığımı bir türlü anlayamıyorum. Özellikle n'inci terimi bulurken (n-1) ile r'yi çarpma kısmında kafam karışıyor. Formülde yerine koyma yaparken hangi değeri nereye yazacağım konusunda da net değilim.

Answer 1

# 📚 Aritmetik Dizi Genel Terim Formülü: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)

🎯 Konuya Giriş: Aritmetik Dizi Nedir?

Matematikte aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu sayı dizileridir. Bu sabit farka ortak fark (r) denir. Aritmetik diziler, hem günlük hayatta (örn. düzenli artan fiyatlar, basamaklar) hem de ileri matematik konularında temel oluşturur.

🔢 Genel Terim Formülünün Yapısı

Aritmetik dizinin n. terimini (genel terimini) bulmak için kullanılan formül:

\( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)

📝 Formül Bileşenlerinin Anlamı

• 🎲 a_n: Dizinin n. terimi (bulmak istediğimiz terim)
• 🚀 a₁: Dizinin ilk terimi
• 🔢 n: İstediğimiz terimin sıra numarası
• 📐 r: Dizinin ortak farkı (ardışık terimler arasındaki sabit fark)

🧮 Formülün Uygulanışı: Adım Adım Örnek

📊 Örnek 1: Temel Uygulama

Problem: İlk terimi 5, ortak farkı 3 olan aritmetik dizinin 10. terimini bulunuz.

✅ Çözüm Adımları:

1. 📌 Verilenleri belirleyelim: \( a_1 = 5 \), \( r = 3 \), \( n = 10 \)
2. 📝 Formülü yazalım: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)
3. 🔢 Değerleri yerine koyalım: \( a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \)
4. 🧮 İşlemleri yapalım: \( a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 5 + 27 = 32 \)
5. 🎉 Sonuç: Bu dizinin 10. terimi 32'dir.

🔄 Örnek 2: Formülü Tersten Kullanma

Problem: 7. terimi 25, ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin ilk terimini bulunuz.

1. 📌 Verilenler: \( a_7 = 25 \), \( r = 2 \), \( n = 7 \)
2. 📝 Formül: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)
3. 🔢 Yerine koyma: \( 25 = a_1 + (7-1) \cdot 2 \)
4. 🧮 Çözüm: \( 25 = a_1 + 6 \cdot 2 \) → \( 25 = a_1 + 12 \) → \( a_1 = 13 \)

💡 Formülün Mantığı ve Türetilişi

Aritmetik dizinin terimlerini yazdığımızda:

• 1. terim: \( a_1 \)
• 2. terim: \( a_2 = a_1 + r \)
• 3. terim: \( a_3 = a_1 + 2r \)
• 4. terim: \( a_4 = a_1 + 3r \)

Buradaki desene baktığımızda, n. terimin ilk terime \( (n-1) \) kez ortak fark eklendiğini görürüz. Bu nedenle formül mantıksal olarak \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \) şeklinde ifade edilir.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

• ❌ Formülde \( (n-1) \) ifadesi unutulmamalıdır (doğrudan \( n \) ile çarpmak yaygın hata!)
• 📏 Ortak fark \( r \) negatif olabilir (azalan diziler)
• 🔍 Sıra numarası \( n \) her zaman pozitif tam sayıdır
• 🎯 İlk terim \( a_1 \) dizinin gerçekten ilk terimi olmalıdır

🔗 İlişkili Formüller

Aritmetik dizi konusunda genel terim formülüyle birlikte bilinmesi gereken diğer formüller:

• 📈 Aritmetik Dizi Toplam Formülü: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \) veya \( S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1) \cdot r] \)
• 🔄 İki Terim Arasındaki İlişki: \( a_m = a_k + (m-k) \cdot r \)

🎓 Özet ve Pratik İpuçları

Aritmetik dizi genel terim formülü, matematikteki en temel ve kullanışlı formüllerden biridir. Pratikte:

1. 🧠 Formülü ezberlemek yerine mantığını anlamaya çalışın
2. 📝 Her problemde verilenleri formüldeki sembollerle eşleştirin
3. ✅ Çözümünüzü mantıksal kontrol edin (örneğin, artan bir dizi için \( r > 0 \) olmalı)
4. 🔁 Farklı soru tiplerini çözerek pratik yapın

Bu formül, sadece matematik derslerinde değil, fizik, ekonomi ve mühendislik gibi alanlarda da sıklıkla karşınıza çıkacaktır. Temel kavramları iyi öğrenmek, ileri konuları anlamanızı kolaylaştıracaktır. 🚀