Aritmetik ortalama, bir sayı dizisindeki tüm sayıların toplamının, dizideki sayı adedine bölünmesiyle bulunur. Günlük hayatta en sık kullandığımız ortalama türüdür.
Geometrik ortalama, bir sayı dizisindeki tüm sayıların çarpımının, dizideki sayı adedi kadar kökünün alınmasıyla bulunur. Daha çok büyüme oranlarının hesaplanmasında kullanılır.
Aritmetik Ortalama (AO) ve Geometrik Ortalama (GO) arasındaki ilişki çok önemlidir. Bu ilişki, özellikle TYT sınavında karşımıza çıkan bazı problemleri çözmede bize büyük kolaylık sağlar.
Aritmetik-Geometrik Ortalama ilişkisini kullanarak TYT sorularını daha hızlı çözebiliriz. İşte bazı pratik yöntemler:
Eğer iki sayının çarpımı sabitse, bu iki sayının toplamının minimum değerini bulmak için sayıları birbirine en yakın seçmeliyiz. En yakın oldukları durum, birbirlerine eşit oldukları durumdur.
Örnek Soru: $x$ ve $y$ pozitif reel sayılar olmak üzere, $x \cdot y = 16$ ise, $x + y$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Çarpımları 16 olan iki sayının toplamının minimum olması için, sayıları birbirine eşit seçmeliyiz. Yani $x = y$ olmalıdır.
$x \cdot y = 16$ ise ve $x = y$ ise, $x^2 = 16$ olur. Buradan $x = 4$ ve $y = 4$ bulunur.
Dolayısıyla, $x + y = 4 + 4 = 8$ olur. Toplamın alabileceği en küçük değer 8'dir.
Eğer iki sayının toplamı sabitse, bu iki sayının çarpımının maksimum değerini bulmak için sayıları birbirine en yakın seçmeliyiz. Yine, en yakın oldukları durum birbirlerine eşit oldukları durumdur.
Örnek Soru: $a$ ve $b$ pozitif reel sayılar olmak üzere, $a + b = 10$ ise, $a \cdot b$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Toplamları 10 olan iki sayının çarpımının maksimum olması için, sayıları birbirine eşit seçmeliyiz. Yani $a = b$ olmalıdır.
$a + b = 10$ ise ve $a = b$ ise, $2a = 10$ olur. Buradan $a = 5$ ve $b = 5$ bulunur.
Dolayısıyla, $a \cdot b = 5 \cdot 5 = 25$ olur. Çarpımın alabileceği en büyük değer 25'tir.
Aritmetik-Geometrik Ortalama ilişkisi, matematik problemlerini çözmede güçlü bir araçtır. Özellikle çarpımları veya toplamları sabit olan sayılarla ilgili sorularda, sayıları birbirine en yakın (mümkünse eşit) seçerek sonuca kolayca ulaşabiliriz. Bu yöntem, TYT sınavında zaman kazanmanıza yardımcı olacaktır.
