AYT Geometrik Dizi: Genel Terim, Toplam Formülü ve Tüm Kurallar

Question

Geometrik dizilerde genel terim ve toplam formülü çok karışık geliyor. Hangi formülü ne zaman kullanacağımı ve bu formüllerin mantığını tam olarak anlamıyorum. Tüm kuralları ve formülleri bir arada görmek işime yarar.

Answer 1

🧮 AYT Geometrik Dizi Nedir?

Geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edildiği bir sayı dizisidir. Bu sabit sayıya ortak çarpan denir ve genellikle r ile gösterilir.

• 🍎 Örnek: 2, 6, 18, 54, ... (Burada ortak çarpan 3'tür.)

🔢 Geometrik Dizinin Genel Terimi

Bir geometrik dizinin genel terimi, dizinin herhangi bir terimini bulmamızı sağlayan formüldür.

Genel terim formülü: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

• 🍎 $a_n$: n'inci terim
• 🍎 $a_1$: İlk terim
• 🍎 r: Ortak çarpan
• 🍎 n: Terim sayısı

📝 Genel Terim Formülü Nasıl Kullanılır?

Örneğin, ilk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5. terimini bulalım:

$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$

➕ Geometrik Dizinin Toplam Formülü

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$ (r ≠ 1)

• 🍎 $S_n$: İlk n terimin toplamı
• 🍎 $a_1$: İlk terim
• 🍎 r: Ortak çarpan
• 🍎 n: Terim sayısı

📝 Toplam Formülü Nasıl Kullanılır?

İlk terimi 1, ortak çarpanı 3 olan bir geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamını bulalım:

$S_4 = 1 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = \frac{1 - 81}{-2} = \frac{-80}{-2} = 40$

📌 Geometrik Dizi Kuralları ve İpuçları

• 💡 Eğer ortak çarpan (r) 1 ise, dizi sabit bir dizidir (örneğin: 5, 5, 5, ...).
• ➕ Geometrik dizide terimler çarpım şeklinde artar veya azalır.
• ➖ Ortak çarpan negatif ise, terimler pozitif ve negatif arasında değişir.
• ♾️ Sonsuz geometrik dizinin toplamı: Eğer $|r| < 1$ ise, $S = \frac{a_1}{1 - r}$ formülü kullanılır.

❓ Örnek Soru ve Çözümü

Bir geometrik dizinin 3. terimi 12 ve 6. terimi 96'dır. Bu dizinin ilk terimi kaçtır?

Çözüm:

$a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12$

$a_6 = a_1 \cdot r^5 = 96$

$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2} = \frac{96}{12}$

$r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$

$a_1 \cdot 2^2 = 12 \Rightarrow a_1 \cdot 4 = 12 \Rightarrow a_1 = 3$

Bu nedenle, dizinin ilk terimi 3'tür.