🌈 AYT Limit Nedir?
Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değeri inceler. Yani, $x$ bir sayıya yaklaşırken, $f(x)$ nereye gidiyor? İşte limit bunu bulmaya çalışır.
- 🎯 Yaklaşma: Limit alırken, o noktaya tam olarak ulaşmak zorunda değiliz. Sadece çok yaklaşmamız yeterli.
- 🧮 Gösterim: Limiti şöyle gösteririz: $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Bu, $x$, $a$'ya yaklaşırken $f(x)$'in $L$'ye yaklaştığı anlamına gelir.
🚀 Limit Çeşitleri ve Pratik Teknikler
💡 Sağdan ve Soldan Limitler
- ➡️ Sağdan Limit: $x$, $a$'ya sağdan (yani büyük değerlerden) yaklaşırken $f(x)$'in değeri. Gösterimi: $\lim_{x \to a^+} f(x)$.
- ⬅️ Soldan Limit: $x$, $a$'ya soldan (yani küçük değerlerden) yaklaşırken $f(x)$'in değeri. Gösterimi: $\lim_{x \to a^-} f(x)$.
- ⚖️ Limitin Varlığı: Bir noktada limitin olması için, sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Yani, $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x)$ olmalı.
🛠️ Belirsizlik Durumları ve Çözüm Yolları
- ➗ 0/0 Belirsizliği: Bu durumda genellikle çarpanlara ayırma, eşlenik alma veya L'Hôpital kuralı kullanılır.
- ♾️ $\infty / \infty$ Belirsizliği: Yine L'Hôpital kuralı veya pay ve paydayı en büyük dereceye bölme yöntemleri işe yarar.
- ➕ $0 \cdot \infty$ Belirsizliği: Bu ifadeyi $0/ (1/ \infty)$ veya $\infty / (1/0)$ şeklinde yazarak 0/0 veya $\infty / \infty$ belirsizliğine dönüştürebiliriz.
🔗 Süreklilik Nedir?
Süreklilik, bir fonksiyonun grafiğinin kopukluk olmadan çizilebilmesi demektir. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için üç şart sağlanmalıdır:
- 📍 Tanımlı Olmalı: $f(a)$ tanımlı olmalı.
- 📏 Limiti Olmalı: $\lim_{x \to a} f(x)$ var olmalı.
- 🤝 Eşit Olmalı: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalı.
🧭 Süreklilik Uygulamaları ve Hızlı Çözüm Yolları
🎯 Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik
- 🧩 Kritik Noktalar: Parçalı fonksiyonlarda sürekliliği incelerken, parçaların birleştiği kritik noktalara dikkat etmeliyiz.
- ➕ Sağdan ve Soldan Limit: Kritik noktalarda sağdan ve soldan limitleri ayrı ayrı hesaplayıp, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olup olmadığını kontrol ederiz.
📈 Grafik Yorumu
- 👁️ Gözle Kontrol: Bir fonksiyonun grafiğine bakarak, kopukluk veya boşluk olup olmadığını kontrol ederek sürekliliği hakkında fikir sahibi olabiliriz.
- ✂️ Sıçrama Noktaları: Grafikte ani sıçramaların olduğu noktalar süreksizlik noktalarıdır.
📐 Örnek Soru ve Çözümü
Soru: Aşağıdaki fonksiyonun $x=2$ noktasında sürekli olup olmadığını inceleyiniz.
$ f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1, & x < 2 \\
5, & x = 2 \\
3x - 1, & x > 2
\end{cases} $
Çözüm:
- ✔️ Tanımlı mı?: $f(2) = 5$ (Tanımlı)
- ✔️ Limit Var mı?:
- ➡️ Sağdan Limit: $\lim_{x \to 2^+} (3x - 1) = 3(2) - 1 = 5$
- ⬅️ Soldan Limit: $\lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = (2)^2 + 1 = 5$
- ✅ Sağdan ve soldan limitler eşit ve 5. Limit var!
- ✔️ Eşit mi?: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5 = f(2)$ (Eşit)
Sonuç: Fonksiyon $x=2$ noktasında süreklidir.
