🧮 Doğrusal Denklem Sistemleri: Temel Kavramlar
Doğrusal denklem sistemleri, birden fazla doğrusal denklemin bir araya gelmesiyle oluşur. Bu denklem sistemlerinin çözümü, tüm denklemleri aynı anda sağlayan değerlerin bulunmasıdır.
- 🍎 Doğrusal Denklem: İçinde değişkenlerin (örneğin x, y, z) sadece birinci kuvvetlerinin bulunduğu denklemlerdir. Örnek: $2x + 3y = 5$
- 🍎 Denklem Sistemi: Birden fazla doğrusal denklemin bir araya gelmesiyle oluşur. Örnek:
$
\begin{cases}
x + y = 3 \\
x - y = 1
\end{cases}
$
- 🍎 Çözüm Kümesi: Denklem sistemini sağlayan tüm (x, y) veya (x, y, z) gibi sıralı ikililerin veya üçlülerin kümesidir.
📐 Çözüm Yöntemleri
Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için farklı yöntemler bulunmaktadır. En sık kullanılan yöntemler şunlardır:
✏️ Yerine Koyma Yöntemi
Bu yöntemde, bir denklemden bir değişken çekilerek diğer denklemde yerine yazılır.
- Birinci denklemden bir değişkeni (örneğin x'i) yalnız bırakın: $x = 3 - y$
- Bu değeri ikinci denklemde x yerine yazın: $(3 - y) - y = 1$
- Denklemi çözerek y'yi bulun: $3 - 2y = 1 \Rightarrow y = 1$
- Bulduğunuz y değerini herhangi bir denklemde yerine yazarak x'i bulun: $x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$
- Çözüm kümesi: $(2, 1)$
➕ Yok Etme Yöntemi
Bu yöntemde, denklemler uygun sayılarla çarpılarak veya bölünerek değişkenlerin katsayıları eşitlenir ve denklemler taraf tarafa toplanarak bir değişken yok edilir.
- Denklemleri alt alta yazın:
$
\begin{cases}
x + y = 3 \\
x - y = 1
\end{cases}
$
- Denklemleri taraf tarafa toplayın: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$
- Bulduğunuz x değerini herhangi bir denklemde yerine yazarak y'yi bulun: $2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$
- Çözüm kümesi: $(2, 1)$
📈 Denklem Sistemlerinin Yorumlanması
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri geometrik olarak yorumlanabilir.
- 🍎 Tek Çözüm: İki doğru tek bir noktada kesişir.
- 🍎 Çözüm Yok: İki doğru paraleldir ve kesişmezler.
- 🍎 Sonsuz Çözüm: İki doğru çakışıktır (aynı doğrudur).
📝 Örnek Soru Çözümü
Soru:
$
\begin{cases}
2x + y = 7 \\
x - y = -1
\end{cases}
$
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Yok etme yöntemini kullanalım:
1. Denklemleri alt alta yazalım:
$
\begin{cases}
2x + y = 7 \\
x - y = -1
\end{cases}
$
2. Denklemleri taraf tarafa toplayalım: $3x = 6 \Rightarrow x = 2$
3. x değerini ikinci denklemde yerine yazalım: $2 - y = -1 \Rightarrow y = 3$
Çözüm kümesi: $(2, 3)$
