🍎 Hiperbol Nedir?
Hiperbol, düzlemde sabit iki noktaya (odak noktaları) olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri sabit olan noktaların geometrik yeridir. Yani, bir hiperbol üzerindeki herhangi bir noktanın iki odak noktasına olan uzaklıkları farkı her zaman aynıdır.
📐 Hiperbolün Temel Elemanları
* **Odak Noktaları (F1, F2):** Hiperbolü tanımlayan iki sabit noktadır.
* **Merkez (O):** Odak noktalarının orta noktasıdır.
* **Asimptotlar:** Hiperbole sonsuzda yaklaşan doğrulardır. Hiperbolün kollarının sonsuza giderken yaklaştığı ama asla kesişmediği doğrulardır.
* **Köşeler (A, A'):** Hiperbolün eksenleri kestiği noktalardır.
* **Eksenler:**
*
Asal Eksen: Odak noktalarından geçen ve hiperbolün merkezinden geçen doğrudur. Uzunluğu 2a'dır.
*
Sanal Eksen: Merkeze dik olan ve uzunluğu 2b olan eksendir.
*
Doğrultman Doğruları:** Hiperbolün odak noktalarına göre tanımlanan özel doğrulardır.
📝 Hiperbolün Denklemi
Hiperbolün denklemi, merkezinin orijinde (0,0) ve odak noktalarının x ekseni üzerinde olduğu durumda şu şekildedir:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
Burada:
* a, asal eksenin yarısıdır.
* b, sanal eksenin yarısıdır.
Eğer hiperbolün merkezi (h,k) noktasında ise denklem şu şekilde olur:
$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$
✨ Hiperbolün Özellikleri ve Formülleri
- 📍 Odak Uzaklığı (c): Merkezin odak noktalarına olan uzaklığıdır. $c^2 = a^2 + b^2$ ilişkisi vardır.
- 📍 Dış Merkezlik (e): Hiperbolün ne kadar "açık" olduğunu gösteren bir değerdir. $e = \frac{c}{a}$ formülü ile bulunur ve $e > 1$ dir.
- 📍 Asimptot Denklemleri: Merkezi orijinde olan bir hiperbol için asimptot denklemleri $y = \pm \frac{b}{a}x$ şeklindedir. Merkezi (h,k) noktasında ise $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$ olur.
- 📍 Teğet Denklemi: Hiperbol üzerindeki bir $(x_1, y_1)$ noktasındaki teğetin denklemi: $\frac{x \cdot x_1}{a^2} - \frac{y \cdot y_1}{b^2} = 1$ şeklindedir.
✍️ Örnek Soru
Merkezi orijinde olan ve denklemi $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ olan hiperbolün odak noktalarını bulunuz.
Çözüm:
$a^2 = 16$ ve $b^2 = 9$ olduğundan, $a = 4$ ve $b = 3$ olur.
$c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ olduğundan, $c = 5$ olur.
Odak noktaları $(\pm 5, 0)$'dır.
💡 Hiperbolün Grafiği
Hiperbolün grafiği, iki ayrı koldan oluşur. Bu kollar, asimptotlara yaklaşarak sonsuza doğru uzanır. Grafiği çizerken, öncelikle merkezi, köşeleri ve asimptotları belirlemek önemlidir. Daha sonra, bu noktalardan geçen ve asimptotlara yaklaşan kollar çizilir.
