🍎 Türev Alma Kuralları: Hızlı Bir Bakış
Türev, bir fonksiyonun değişim hızını ölçer. AYT'de başarılı olmak için türev alma kurallarını çok iyi bilmelisin. İşte en önemli kurallar:
- 🎯 Sabit Sayının Türevi: Sabit bir sayının türevi her zaman sıfırdır. Yani, eğer $f(x) = c$ (c bir sabit sayı) ise, $f'(x) = 0$'dır.
Örnek: $f(x) = 5$ ise, $f'(x) = 0$'dır.
- 💪 x'in Türevi: $f(x) = x$ ise, $f'(x) = 1$'dir.
- ✨ Kuvvet Kuralı: $f(x) = x^n$ ise, $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$'dir.
Örnek: $f(x) = x^3$ ise, $f'(x) = 3x^2$'dir.
- ➕ Toplam/Fark Kuralı: İki fonksiyonun toplamının veya farkının türevi, ayrı ayrı türevlerinin toplamı veya farkıdır. Yani, eğer $h(x) = f(x) + g(x)$ ise, $h'(x) = f'(x) + g'(x)$'dir. Aynı şey çıkarma için de geçerlidir.
Örnek: $h(x) = x^2 + 3x$ ise, $h'(x) = 2x + 3$'tür.
- ✖️ Çarpım Kuralı: İki fonksiyonun çarpımının türevi: $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$'dir.
Örnek: $h(x) = x^2 \cdot \sin(x)$ ise, $h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$'tir.
- ➗ Bölüm Kuralı: İki fonksiyonun bölümünün türevi: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$'dir.
Örnek: $h(x) = \frac{x^2}{x+1}$ ise, $h'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$'dir.
- 🔗 Zincir Kuralı: Bileşke fonksiyonun türevi: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$'dir.
Örnek: $h(x) = \sin(x^2)$ ise, $h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$'tir.
🧪 ÖSYM Tarzı Türev Soruları ve Çözümleri
Şimdi de öğrendiğimiz bu kuralları ÖSYM'nin sevdiği tarzda sorularda nasıl kullanacağımıza bakalım.
💡 Soru 1:
$f(x) = (x^2 + 1)^3$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevi kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle zincir kuralını uygulayalım:
$f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot (2x)$
$f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2$
Şimdi $x = 1$ için değeri bulalım:
$f'(1) = 6(1)((1)^2 + 1)^2 = 6 \cdot (2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$
Cevap: 24
💡 Soru 2:
$f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$ fonksiyonunun türevi nedir?
Çözüm:
Bölüm kuralını uygulayalım:
$f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 - 1) - (x^3 + 2)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$
$f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4 - 4x}{(x^2 - 1)^2}$
$f'(x) = \frac{x^4 - 3x^2 - 4x}{(x^2 - 1)^2}$
Cevap: $f'(x) = \frac{x^4 - 3x^2 - 4x}{(x^2 - 1)^2}$
💡 Soru 3:
$f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ fonksiyonunun türevi nedir?
Çözüm:
Öncelikle fonksiyonu düzenleyelim: $f(x) = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$
Şimdi kuvvet kuralını uygulayalım:
$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$
Cevap: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$
🚀 Türevde Ustalaşmak İçin İpuçları
- ✍️ Bol bol pratik yap! Ne kadar çok soru çözersen, kuralları o kadar iyi anlarsın.
- 📚 Farklı kaynaklardan yararlan. Sadece ders kitabına bağlı kalma, farklı soru bankaları ve online kaynakları da incele.
- 🤝 Arkadaşlarınla birlikte çalış. Takıldığınız noktalarda birbirinize yardımcı olun.
- ⏱️ Zaman yönetimine dikkat et. Sınavda zamanı verimli kullanmak için soru çözerken süre tut.
