Çift sayıda veri grubu medyanı

Question

Verileri küçükten büyüğe sıraladığımda ortada iki tane sayı kalıyor. Bu iki sayının ortalamasını alırken tam olarak nasıl yapmam gerektiğini karıştırıyorum. Sonucun her zaman tam sayı çıkmayabileceğini unutuyorum.

Answer 1

# 📊 Çift Sayıda Veri Grubunda Medyan Hesaplama - Ders Notu

📚 Konu: Merkezi Eğilim Ölçüleri - Medyan

Merhaba! Bugünkü dersimizde istatistiğin temel kavramlarından biri olan medyanı ve özellikle veri grubumuz çift sayıda eleman içerdiğinde nasıl hesaplandığını öğreneceğiz. Medyan, bir veri setinin "ortanca" değeridir ve uç değerlerden (aykırı değerler) aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenmesi nedeniyle önemli bir merkezi eğilim ölçüsüdür.

🔍 Medyan Nedir?

Medyan, bir veri setini küçükten büyüğe sıraladığımızda tam ortada kalan değerdir. Veri setini iki eşit parçaya böler; verilerin yarısı medyandan küçük veya eşit, diğer yarısı ise medyandan büyük veya eşittir.

⚖️ Tek vs. Çift Sayıda Veri

Medyan hesaplamasında en kritik nokta, veri setimizdeki eleman sayısının tek mi yoksa çift mi olduğudur:

• ✅ Tek Sayıda Veri: Ortada tek bir değer vardır, bu değer medyandır.
• 🔄 Çift Sayıda Veri: Ortada iki değer vardır, bu iki değerin aritmetik ortalaması medyan olarak alınır.

🧮 Çift Sayıda Veri İçin Medyan Hesaplama Adımları

📝 Adım 1: Verileri Küçükten Büyüğe Sırala

İlk ve en önemli adım, veri setindeki tüm değerleri küçükten büyüğe doğru sıralamaktır. Medyan hesaplaması sıralı veri gerektirir.

📝 Adım 2: Ortadaki İki Değeri Belirle

n çift sayıda veri olduğunda, ortadaki iki değerin pozisyonları şu formüllerle bulunur:

1. Ortadaki ilk değerin pozisyonu: \( \frac{n}{2} \)
2. Ortadaki ikinci değerin pozisyonu: \( \frac{n}{2} + 1 \)

📝 Adım 3: İki Değerin Ortalamasını Al

Bulduğunuz iki değerin aritmetik ortalamasını hesaplayın. Bu, medyan değeriniz olacaktır.

Formül: \( \text{Medyan} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} \)

📊 Örnek Uygulama

🎯 Örnek 1: Basit Bir Veri Seti

Veri seti: 12, 8, 15, 6, 20, 14 (n = 6 çift sayı)

1. Sıralama: 6, 8, 12, 14, 15, 20
2. Ortadaki İki Değer:
   • \( \frac{n}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). pozisyon → 12
   • \( \frac{n}{2} + 1 = 3 + 1 = 4 \). pozisyon → 14
3. Ortalama: \( \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13 \)

Sonuç: Medyan = 13

🎯 Örnek 2: Not Verileri

8 öğrencinin matematik notları: 75, 82, 68, 90, 85, 78, 92, 88 (n = 8 çift sayı)

1. Sıralama: 68, 75, 78, 82, 85, 88, 90, 92
2. Ortadaki İki Değer:
   • \( \frac{8}{2} = 4 \). pozisyon → 82
   • \( \frac{8}{2} + 1 = 5 \). pozisyon → 85
3. Ortalama: \( \frac{82 + 85}{2} = \frac{167}{2} = 83.5 \)

Sonuç: Medyan = 83.5

💡 Medyanın Önemi ve Avantajları

• 📈 Aykırı Değerlere Dirençli: Aritmetik ortalamadan farklı olarak, medyan uç değerlerden (çok büyük veya çok küçük değerler) çok az etkilenir.
• ⚖️ Eşit Bölme: Veri setini tam olarak iki eşit parçaya böler.
• 🏠 Gerçek Hayat Uygulamaları: Maaş dağılımları, ev fiyatları, sınav sonuçları gibi asimetrik dağılımlarda medyan daha gerçekçi bir merkezi eğilim ölçüsüdür.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 🔢 Medyan hesaplamadan önce mutlaka verileri sıralayın.
• 🔍 Veri sayısının tek mi çift mi olduğunu kontrol edin.
• 📐 Çift sayıda veride medyan, veri setinde gerçekte var olmayan bir değer olabilir (örneğimizdeki 13 gibi).
• 🔄 Medyan, verilerin sıralamasına bağlıdır, değerlerin kendisine değil.

📝 Özet

Çift sayıda veri grubunda medyan hesaplamak için:

1. Verileri küçükten büyüğe sırala
2. Ortadaki iki değeri belirle (\( \frac{n}{2} \). ve \( \frac{n}{2} + 1 \). sıradaki değerler)
3. Bu iki değerin aritmetik ortalamasını hesapla

Medyan, özellikle asimetrik dağılımlarda ve aykırı değerlerin olduğu durumlarda aritmetik ortalamaya tercih edilen daha güvenilir bir merkezi eğilim ölçüsüdür.

Ödev: Aşağıdaki veri setinin medyanını hesaplayınız: 45, 23, 67, 89, 12, 56, 34, 78 (Cevap: 50.5)