Cosinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi ifade eden temel bir trigonometri teoremidir. Özellikle, dik olmayan üçgenlerde kenar uzunluklarını ve açıları bulmak için güçlü bir araçtır.
Bir ABC üçgeni düşünelim. a, b, ve c kenar uzunlukları olsun. α açısı, a kenarının karşısındaki açı olsun. Bu durumda cosinüs teoremi şu şekilde ifade edilir:
a2 = b2 + c2 - 2bc * cos(α)
Benzer şekilde, diğer açılar için de teoremi uygulayabiliriz:
b2 = a2 + c2 - 2ac * cos(β)
c2 = a2 + b2 - 2ab * cos(γ)
Bir ABC üçgeninde, b = 5 cm, c = 8 cm ve α = 60° olsun. a kenarının uzunluğunu bulun.
Çözüm:
Cosinüs teoremini uygulayalım:
a2 = b2 + c2 - 2bc * cos(α)
Değerleri yerine koyalım:
a2 = 52 + 82 - 2 * 5 * 8 * cos(60°)
cos(60°) = 0.5 olduğunu hatırlayalım:
a2 = 25 + 64 - 80 * 0.5
a2 = 89 - 40
a2 = 49
a'yı bulmak için karekök alalım:
a = √49 = 7 cm
Sonuç olarak, a kenarının uzunluğu 7 cm'dir.
Cosinüs teoremi ve sinüs teoremi, üçgenlerin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri inceleyen iki temel trigonometri teoremidir. Her ikisi de farklı durumlarda kullanılır:
Özetle, hangi teoremi kullanacağınız, elinizdeki bilgilere bağlıdır. Eğer iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa cosinüs teoremi, iki açı ve bir kenar biliniyorsa sinüs teoremi daha uygun olabilir.
