Delta < 0 (Deltadan küçük sıfır) ise kökler nedir (Reel kök yok)

Question

Delta'nın sıfırdan küçük olması denklemin x eksenini hiç kesmediği anlamına geliyor sanırım. Bu durumda grafik tamamen x ekseninin üstünde veya altında kalıyor. Köklerin reel sayı olmaması kafamı biraz karıştırıyor, bu durumu nasıl yorumlamam gerekiyor?

Answer 1

# 📘 Ders Notu: İkinci Dereceden Denklemlerde Diskriminant ve Köklerin Doğası

🎯 Konu: Diskriminantın Sıfırdan Küçük Olması Durumu (Δ < 0)

Bu ders notumuzda, ikinci dereceden denklemlerin çözümünde kritik bir öneme sahip olan diskriminant (Δ) kavramını ve özellikle Δ < 0 durumunda denklemin köklerinin nasıl bir yapıya sahip olduğunu inceleyeceğiz.

🔍 Diskriminant Nedir?

İkinci dereceden bir denklem genel olarak şu şekilde ifade edilir:

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Bu denklemin diskriminantı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Diskriminant, denklemin köklerinin doğasını (reel, karmaşık, tek/çift katlı) belirleyen bir gösterge görevi görür.

⚠️ Δ < 0 Durumu: Reel Kök Yok!

Diskriminantın sıfırdan küçük çıkması durumunda (Δ < 0), karşılaşacağımız sonuç şudur:

• 📉 Denklemin reel sayılarda çözümü yoktur.
• 🌀 Kökler karmaşık (kompleks) sayılardır.
• 🧮 Kökler birbirinin eşleniği olan iki farklı karmaşık sayıdır.

🔢 Kökler Nasıl Bulunur?

Δ < 0 olduğunda, ikinci dereceden denklem formülü:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

Burada \( \sqrt{\Delta} \) ifadesi, Δ negatif olduğu için reel bir sayı değildir. Bu durumda kökler:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \)

şeklinde yazılır. Burada \( i = \sqrt{-1} \) sanal birimdir.

📝 Örnek Çözüm

Örnek: \( x^2 - 4x + 13 = 0 \) denkleminin köklerini inceleyelim.

1. Katsayılar: a = 1, b = -4, c = 13
2. Diskriminant hesaplaması: \( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 \)
3. Sonuç: Δ = -36 < 0 olduğundan reel kök yoktur.
4. Karmaşık kökler: \( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \)
5. Kökler: \( x_1 = 2 + 3i \) ve \( x_2 = 2 - 3i \) (birbirinin eşleniği)

🎓 Özet Tablo: Diskriminantın Köklere Etkisi

• ✅ Δ > 0: İki farklı reel kök
• ⚖️ Δ = 0: Çakışık iki reel kök (tek katlı)
• 🚫 Δ < 0: Reel kök yok, iki karmaşık kök

Önemli Not: Δ < 0 durumu, gerçek hayatta özellikle fizik ve mühendislik problemlerinde (salınım hareketleri, elektrik devreleri vb.) sıklıkla karşımıza çıkar ve köklerin karmaşık olması, sistemin davranışı hakkında önemli bilgiler verir.

📚 Sonuç: Diskriminantın negatif çıkması, denklemin reel sayılar kümesinde çözümünün olmadığı anlamına gelir, ancak bu denklemin "kökü yok" demek değildir. Kökler karmaşık sayılar kümesinde vardır ve matematiksel analizlerde önemli rol oynar.