# 📘 EBOB ve EKOK: Tanımı, Hesaplanması ve Örnekler (Ders Notu)
🎯 Temel Kavramlar: EBOB ve EKOK Nedir?
Matematikte, özellikle sayılar teorisi ve aritmetik alanında, iki veya daha fazla sayının ortak bölenleri ve katları önemli bir yer tutar. EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) bu bağlamda en sık kullanılan iki kavramdır.
- 🔹 EBOB (GCD - Greatest Common Divisor): Verilen sayıları kalansız bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır.
- 🔹 EKOK (LCM - Least Common Multiple): Verilen sayıların her birinin bir katı olan en küçük pozitif tam sayıdır.
Bu iki kavram, kesirlerde sadeleştirme-genişletme, problem çözme ve denklemler gibi birçok alanda pratik uygulamaya sahiptir.
🧮 EBOB (En Büyük Ortak Bölen) Nasıl Bulunur?
📝 Yöntem 1: Ortak Bölen Listesi (Küçük Sayılar İçin)
Sayıların tüm bölenleri yazılır ve ortak olanların en büyüğü alınır.
Örnek: 24 ve 36'nın EBOB'u
- 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- En büyük ortak bölen: 12 → EBOB(24, 36) = 12
⚙️ Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırma (En Etkili Yöntem)
Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanlar çarpılır.
Örnek: 60 ve 84'ün EBOB'u
- 60 = \( 2^2 \times 3 \times 5 \)
- 84 = \( 2^2 \times 3 \times 7 \)
- Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
- Üslerine bak: \( 2^2 \) (ikisinde de 2), \( 3^1 \) (ikisinde de 1)
- EBOB = \( 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)
- Sonuç: EBOB(60, 84) = 12
🔄 Yöntem 3: Öklid (Euclid) Algoritması (Büyük Sayılar İçin)
Bölme işlemi tekrarlanarak kalan sıfır olana kadar devam edilir. Son kalan sıfır olmadan önceki kalan EBOB'tur.
Örnek: EBOB(48, 18)
- 48 ÷ 18 = 2, kalan 12
- 18 ÷ 12 = 1, kalan 6
- 12 ÷ 6 = 2, kalan 0
- Kalan sıfır olmadan önceki kalan 6'dır.
- Sonuç: EBOB(48, 18) = 6
🧮 EKOK (En Küçük Ortak Kat) Nasıl Bulunur?
📝 Yöntem 1: Ortak Kat Listesi (Küçük Sayılar İçin)
Sayıların katları listelenir ve ortak olanların en küçüğü alınır.
Örnek: 6 ve 8'in EKOK'u
- 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36...
- 8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40...
- İlk ortak kat: 24 → EKOK(6, 8) = 24
⚙️ Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırma (En Etkili Yöntem)
Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanlardan üssü büyük olanlar çarpılır.
Örnek: 24 ve 36'nın EKOK'u
- 24 = \( 2^3 \times 3^1 \)
- 36 = \( 2^2 \times 3^2 \)
- Tüm asal çarpanlar: 2 ve 3
- Üslerine bak: 2'nin üssü (3 > 2) → \( 2^3 \), 3'ün üssü (2 > 1) → \( 3^2 \)
- EKOK = \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \)
- Sonuç: EKOK(24, 36) = 72
🎯 Yöntem 3: EBOB'tan Yararlanma (Pratik Formül)
İki sayı için geçerli olan çok kullanışlı bir formül vardır:
\[ \text{EKOK}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{EBOB}(a, b)} \]
Örnek: EKOK(12, 18)
- Önce EBOB'u bul: EBOB(12, 18) = 6
- Formülü uygula: EKOK = \( \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36 \)
- Sonuç: EKOK(12, 18) = 36
📊 EBOB ve EKOK İlişkisi ve Karşılaştırma Tablosu
| Karşılaştırma |
EBOB |
EKOK |
| Tanım |
Ortak bölenlerin en büyüğü |
Ortak katların en küçüğü |
| Asal Çarpan Yöntemi |
Ortak çarpanlardan üssü küçük olanlar alınır |
Tüm çarpanlardan üssü büyük olanlar alınır |
| İlişki (2 sayı için) |
\( a \times b = \text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) \) |
| Kullanım Alanı |
Kesir sadeleştirme, parça bölme |
Kesir genişletme, ortak zaman bulma |
💡 Pratik Problem Çözümü ve Uyarılar
✅ Önemli Noktalar:
- 🔸 EBOB, sayılardan her zaman küçük veya eşittir.
- 🔸 EKOK, sayılardan her zaman büyük veya eşittir.
- 🔸 Ardışık sayıların EBOB'u her zaman 1'dir.
- 🔸 Asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise çarpımlarıdır.
- 🔸 Üç veya daha fazla sayının EBOB/EKOK'u bulunurken, işlem sırayla yapılabilir.
🧩 Örnek Problem:
"12 cm ve 18 cm uzunluğundaki tahta çubuklar, eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Parçalar mümkün olan en uzun boyda olacak şekilde kaç parça elde edilir?"
Çözüm:
- Parçaların eşit ve en uzun olması istendiği için EBOB bulunmalıdır.
- EBOB(12, 18) = 6 cm (her bir parçanın boyu)
- 12 cm'lik çubuktan: 12 ÷ 6 = 2 parça
- 18 cm'lik çubuktan: 18 ÷ 6 = 3 parça
- Toplam parça: 2 + 3 = 5 parça
📚 Sonuç: EBOB ve EKOK, matematiksel düşünme ve problem çözme becerilerini geliştiren temel araçlardır. Hangi yöntemi kullanırsanız kullanın, doğru sonuca ulaşmak için işlem adımlarını dikkatli takip etmek en önemlisidir.
