🧪 Güven Aralığı Nedir?
Güven aralığı, bir anakütle parametresinin (örneğin, ortalama veya oran) gerçek değerinin belirli bir olasılıkla içinde bulunduğu tahmin edilen aralıktır. Bu aralık, örnek veriler kullanılarak hesaplanır ve belirli bir güven düzeyine karşılık gelir.
- 📊 Anakütle: Hakkında bilgi edinmek istediğimiz tüm elemanların veya bireylerin oluşturduğu gruptur.
- 🧪 Örneklem: Anakütleden rastgele seçilen ve üzerinde ölçümler yapılan daha küçük bir gruptur.
- 🧮 Güven Düzeyi: Anakütle parametresinin gerçek değerinin güven aralığı içinde olma olasılığıdır. Genellikle %90, %95 veya %99 olarak ifade edilir.
🧪 Güven Aralığı Nasıl Hesaplanır?
Güven aralığını hesaplamak için aşağıdaki adımlar izlenir:
- 🍎 Örneklem Ortalaması ($\bar{x}$): Örneklemdeki tüm değerlerin toplamının örneklem büyüklüğüne bölünmesiyle bulunur.
- 📊 Standart Hata (SE): Örneklem ortalamasının standart sapmasıdır. $SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$ formülü ile hesaplanır; burada $s$ örneklem standart sapması ve $n$ örneklem büyüklüğüdür.
- 🧪 Kritik Değer (z veya t): Seçilen güven düzeyine ve örneklem büyüklüğüne bağlı olarak belirlenen değerdir. Genellikle z-tablosu veya t-tablosu kullanılarak bulunur.
- 🧮 Güven Aralığı Formülü: Güven aralığı, örneklem ortalaması ± (kritik değer x standart hata) şeklinde hesaplanır. Yani: $\bar{x} \pm (z \cdot SE)$ veya $\bar{x} \pm (t \cdot SE)$.
🧪 Güven Aralığını Etkileyen Faktörler
- 🍎 Örneklem Büyüklüğü: Örneklem büyüklüğü arttıkça güven aralığı daralır. Daha büyük bir örneklem, anakütle hakkında daha fazla bilgi sağlar.
- 📊 Güven Düzeyi: Güven düzeyi arttıkça güven aralığı genişler. Daha yüksek bir güven düzeyi, anakütle parametresinin gerçek değerinin aralık içinde olma olasılığını artırır.
- 🧪 Standart Sapma: Anakütledeki değişkenlik arttıkça güven aralığı genişler. Daha değişken bir anakütle, daha geniş bir aralıkta değerler alabilir.
🧪 Olasılık ve Güven Aralığı İlişkisi
Güven aralığı, olasılık kavramı üzerine kuruludur. Güven düzeyi, oluşturulan aralığın anakütle parametresinin gerçek değerini kapsama olasılığını ifade eder. Örneğin, %95 güven aralığı, aynı anakütleden tekrar tekrar örneklem alınarak oluşturulan güven aralıklarının %95'inin anakütle parametresinin gerçek değerini içereceği anlamına gelir.
🧪 Olasılık ve Güven Aralığı Arasındaki Bağlantı
- 🍎 Olasılık Dağılımı: Örneklem istatistiklerinin (örneğin, örneklem ortalaması) olasılık dağılımı, güven aralığı oluşturulmasında temel bir rol oynar. Normal dağılım veya t-dağılımı gibi olasılık dağılımları, kritik değerlerin belirlenmesinde kullanılır.
- 📊 Merkezi Limit Teoremi: Merkezi Limit Teoremi'ne göre, yeterince büyük bir örneklem büyüklüğü için örneklem ortalamasının dağılımı yaklaşık olarak normal dağılıma yaklaşır. Bu teorem, güven aralığı hesaplamalarında yaygın olarak kullanılır.
- 🧪 Hata Payı: Güven aralığının genişliği, hata payı olarak adlandırılır. Hata payı, örneklem ortalamasının anakütle ortalamasından ne kadar farklı olabileceğini gösterir. Daha küçük bir hata payı, daha kesin bir tahmini ifade eder.
🧪 Örnek Soru Çözümü
Bir fabrikada üretilen ampullerin ömrünü tahmin etmek için bir örneklem alındı. 100 ampulün ortalama ömrü 800 saat ve standart sapması 50 saat olarak bulundu. %95 güven düzeyinde ampullerin ortalama ömrü için güven aralığını hesaplayın.
Çözüm:
- 🍎 Örneklem Ortalaması ($\bar{x}$): 800 saat
- 📊 Standart Sapma (s): 50 saat
- 🧪 Örneklem Büyüklüğü (n): 100
- 🧮 Standart Hata (SE): $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{50}{\sqrt{100}} = 5$
- 🍎 Kritik Değer (z): %95 güven düzeyi için z-tablosundan z = 1.96
- 📊 Güven Aralığı: $\bar{x} \pm (z \cdot SE) = 800 \pm (1.96 \cdot 5) = 800 \pm 9.8$
Bu durumda, %95 güven aralığı (790.2, 809.8) saat olarak bulunur. Yani, ampullerin ortalama ömrünün 790.2 saat ile 809.8 saat arasında olduğu %95 olasılıkla söylenebilir.
