🧮 Hiperbolün Temel Özellikleri
Hiperbol, analitik geometrinin önemli konularından biridir. İşte hiperbolün temel özellikleri:
- 📐 Tanım: Düzlemde, sabit iki noktaya (odak noktaları) olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri sabit olan noktaların geometrik yeridir.
- 📍 Odak Noktaları: Hiperbolün iki tane odak noktası vardır. Bu noktalar $F_1$ ve $F_2$ ile gösterilir.
- ↔️ Merkez: Odak noktalarının orta noktasıdır.
- 📏 Asimptotlar: Hiperbole sonsuzda yaklaşan doğrulardır. Hiperbolün iki adet asimptotu vardır.
- 🔗 Denklem: Merkezi orijinde olan bir hiperbolün denklemi $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ şeklindedir.
✍️ ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri
Aşağıda, hiperbol konusuyla ilgili ÖSYM tarzı sorular ve çözümleri bulunmaktadır:
❓ Soru 1:
Denklemi $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ olan hiperbolün odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
Hiperbolün denkleminden $a^2 = 9$ ve $b^2 = 16$ olduğunu görüyoruz. Buradan $a = 3$ ve $b = 4$ olur. Odak uzaklığını bulmak için $c^2 = a^2 + b^2$ formülünü kullanırız.
$c^2 = 9 + 16 = 25$ ise $c = 5$ olur.
Odak noktaları arasındaki uzaklık $2c$ olduğundan, cevap $2 \cdot 5 = 10$ birimdir.
❓ Soru 2:
Merkezi orijinde olan ve bir asimptotu $y = \frac{4}{3}x$ doğrusu olan hiperbolün denklemi $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ise, $b$ kaçtır?
Çözüm:
Hiperbolün asimptot denklemi $y = \pm \frac{b}{a}x$ şeklindedir. Verilen asimptot denklemi $y = \frac{4}{3}x$ olduğundan $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$ olmalıdır.
Ayrıca $a^2 = 9$ ise $a = 3$ olur.
$\frac{b}{3} = \frac{4}{3}$ ise $b = 4$ bulunur.
❓ Soru 3:
Odak noktalarından biri $F(5, 0)$ olan ve merkezi orijinde bulunan hiperbolün üzerinde bir nokta $P(x, y)$ olsun. $|PF_1 - PF_2| = 6$ ise, hiperbolün denklemi nedir?
Çözüm:
Hiperbolün tanımına göre, odak noktalarına olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri sabittir ve $2a$ değerine eşittir. Bu durumda $2a = 6$ ise $a = 3$ olur.
Odak noktası $F(5, 0)$ olduğundan $c = 5$ olur. $c^2 = a^2 + b^2$ formülünden $b^2 = c^2 - a^2$ bulunur.
$b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ olur.
Hiperbolün denklemi $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ olduğundan, denklem $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ şeklindedir.
