Kapalı doğru denkleminde eğim bulma (-a/b)

Question

Kapalı doğru denkleminde x ve y'yi aynı tarafta görünce kafam karışıyor. Denklemi açık forma çevirmeden eğimi nasıl bulacağımı tam anlayamadım. Özellikle -a/b formülünü hangi katsayılara uygulayacağım konusunda kafam karışık.

Answer 1

# 📐 Kapalı Doğru Denkleminde Eğim Bulma: (-a/b) Formülünün İspatı ve Uygulamaları

🎯 Konu: Doğrunun Analitik İncelenmesi - Kapalı Form ve Eğim

Analitik geometride doğru denklemleri genellikle iki formda ifade edilir: Açık Form (Eğim-Kesim Formu) ve Kapalı Form (Standart Form). Bu ders notunda, kapalı formda verilen bir doğrunun eğimini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

📖 Temel Tanımlar

Kapalı Doğru Denklemi: \( ax + by + c = 0 \) şeklinde yazılan denklemlerdir. Burada \( a \), \( b \), ve \( c \) reel sayılardır ve \( a \) ile \( b \) aynı anda sıfır olamaz.

Eğim (m): Bir doğrunun x-ekseni ile yaptığı pozitif açının tanjant değeridir. Dikey olmayan her doğrunun bir eğimi vardır.

🔍 Formülün Türetilmesi

Kapalı formdan eğim-kesim formuna geçiş yaparak eğim formülünü türetebiliriz:

1. Kapalı denklem: \( ax + by + c = 0 \)
2. \( by = -ax - c \) (ax ve c'yi eşitliğin diğer tarafına attık)
3. \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \) (Her iki tarafı b'ye böldük)

Eğim-kesim formu \( y = mx + n \) şeklinde olduğundan, karşılaştırma yaparsak:

\( m = -\frac{a}{b} \) ve \( n = -\frac{c}{b} \)

✅ Sonuç: Kapalı form \( ax + by + c = 0 \) ile verilen bir doğrunun eğimi \( m = -\frac{a}{b} \) formülü ile bulunur.

⚠️ Önemli Uyarılar

• ⚠️ Payda Sıfır Olamaz: Eğer \( b = 0 \) ise, doğrumuz dikey (düşey) bir doğrudur ve eğimi tanımsızdır.
• 📏 Dikey Doğrular: \( b = 0 \) durumunda denklem \( ax + c = 0 \) veya \( x = k \) (sabit) formunu alır. Bu doğruların eğimi yoktur/tanımsızdır.
• ➗ Sadeleştirme: Denklemdeki katsayılar ortak çarpan içeriyorsa, formülü uygulamadan önce sadeleştirme yapabilirsiniz.

📝 Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Temel Uygulama

Soru: \( 3x - 6y + 12 = 0 \) doğrusunun eğimi nedir?

Çözüm:

• \( a = 3 \), \( b = -6 \)
• \( m = -\frac{a}{b} = -\frac{3}{-6} = \frac{1}{2} \)
• ✅ Cevap: Eğim \( \frac{1}{2} \)

Örnek 2: Negatif Eğim

Soru: \( -2x - 4y + 8 = 0 \) doğrusunun eğimini bulunuz.

Çözüm:

• \( a = -2 \), \( b = -4 \)
• \( m = -\frac{a}{b} = -\frac{-2}{-4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \)
• ✅ Cevap: Eğim \( -\frac{1}{2} \) (Doğru sağa doğru aşağı yönelir)

Örnek 3: Dikey Doğru

Soru: \( 5x + 0\cdot y - 10 = 0 \) doğrusunun eğimi nedir?

Çözüm:

• \( a = 5 \), \( b = 0 \)
• \( m = -\frac{5}{0} \) → Tanımsız!
• ✅ Cevap: Bu bir dikey doğrudur (\( x = 2 \)), eğimi tanımsızdır.

🎯 Pratik İpuçları

• 🔢 İşaret Kontrolü: Formüldeki eksi işaretini unutmayın! \( m = -\frac{a}{b} \)
• ✏️ Alternatif Yöntem: İki noktası bilinen doğrularda eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) ile de kontrol edebilirsiniz.
• 📐 Geometrik Anlam: Eğimin mutlak değeri büyüdükçe doğru daha dik hale gelir.

📊 Formül Özet Tablosu

Denklem Formu	Genel Yazılış	Eğim Formülü
Kapalı Form	\( ax + by + c = 0 \)	\( m = -\frac{a}{b} \)
Açık Form	\( y = mx + n \)	\( m \) (doğrudan)
İki Nokta Formu	\( \frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)	\( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)

✅ Öğrendiklerimizi Kontrol Edelim

Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulunuz:

1. \( 4x + 2y - 8 = 0 \)
2. \( -x + 3y + 6 = 0 \)
3. \( 2x - 5 = 0 \) (Dikkat: y terimi yok!)

Cevaplar: 1) \( -2 \), 2) \( \frac{1}{3} \), 3) Tanımsız (dikey doğru)

---

📚 Sonuç: Kapalı formdaki bir doğrunun eğimini bulmak için \( m = -\frac{a}{b} \) formülünü kullanırız. Bu formül, doğru denklemini eğim-kesim formuna dönüştürmeden hızlıca eğim bulmamızı sağlar. Geometri problemlerinde ve mühendislik uygulamalarında sıkça kullanılan bu temel formülü iyi öğrenmek, analitik geometri konusundaki başarınızı artıracaktır.