🧮 Karmaşık Sayılarla Zihninizi Zorlayın
Karmaşık sayılar, matematik dünyasının gizemli ve büyüleyici bir köşesidir. Reel sayılarla yetinmeyip, hayali birim olan $i$'yi de işin içine katarak, matematiğe yeni bir boyut kazandırırlar. Bu yazıda, karmaşık sayılarla ilgili bilmecelerle hem bilginizi tazeleyecek hem de problem çözme yeteneğinizi geliştireceksiniz. Hazırsanız, karmaşık sayıların derinliklerine dalalım!
❓ Bilmece 1: Karmaşık Eşlenik
Bir $z$ karmaşık sayısı için, $z + \bar{z} = 6$ ve $z \cdot \bar{z} = 25$ eşitlikleri sağlanıyor. Buna göre, $z$ karmaşık sayısı nedir?
- 💡 İpucu: $z = a + bi$ şeklinde bir karmaşık sayı tanımlayın ve verilen eşitlikleri kullanarak $a$ ve $b$ değerlerini bulun. Karmaşık eşlenik, sanal kısmın işaretini değiştirir.
➕ Çözüm 1:
$z = a + bi$ olsun. O zaman $\bar{z} = a - bi$ olur.
Verilenlere göre:
$z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a = 6 \Rightarrow a = 3$
$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = 25$
$a = 3$ olduğundan, $3^2 + b^2 = 25 \Rightarrow b^2 = 16 \Rightarrow b = \pm 4$
Dolayısıyla, $z = 3 + 4i$ veya $z = 3 - 4i$ olabilir.
❓ Bilmece 2: Karmaşık Sayıların Karesi
Karesi $-8 - 6i$ olan karmaşık sayıyı bulun.
- 🔑 İpucu: Aradığınız karmaşık sayıyı $a+bi$ şeklinde ifade edin ve $(a+bi)^2 = -8-6i$ eşitliğini kullanarak $a$ ve $b$'yi bulun.
➗ Çözüm 2:
$(a + bi)^2 = -8 - 6i$
$a^2 + 2abi - b^2 = -8 - 6i$
Reel ve sanal kısımları eşitleyerek:
$a^2 - b^2 = -8$
$2ab = -6 \Rightarrow ab = -3$
$b = -\frac{3}{a}$ ifadesini ilk denklemde yerine koyalım:
$a^2 - \frac{9}{a^2} = -8$
$a^4 + 8a^2 - 9 = 0$
$(a^2 + 9)(a^2 - 1) = 0$
$a^2 = -9$ (reel çözüm yok) veya $a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$
$a = 1$ ise $b = -3$
$a = -1$ ise $b = 3$
Yani, karmaşık sayılar $1 - 3i$ ve $-1 + 3i$'dir.
❓ Bilmece 3: Karmaşık Kökler
$x^2 + bx + c = 0$ denkleminin köklerinden biri $3 + 4i$ ise, $b$ ve $c$ reel sayılarını bulun.
- 🔍 İpucu: Reel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri eşlenik çiftler halinde bulunur. Diğer kökü bulun ve Vieta formüllerini uygulayın.
➖ Çözüm 3:
Reel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri eşlenik çiftler halinde bulunduğundan, diğer kök $3 - 4i$'dir.
Vieta formüllerine göre:
Kökler toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{1} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6 \Rightarrow b = -6$
Kökler çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 25$
Dolayısıyla, $b = -6$ ve $c = 25$'tir.
🏆 Sonuç
Karmaşık sayılar, matematiksel düşünceyi geliştirmenin ve problem çözme becerilerini keskinleştirmenin harika bir yoludur. Bu bilmecelerle, karmaşık sayılarla ilgili temel kavramları pekiştirmiş ve zihninizi zorlamış oldunuz. Matematik yolculuğunuzda başarılar dileriz!
