Kenarlar verildi, açı nasıl bulurum?

Question

"Üçgenin kenar uzunluklarını biliyorum ama açıları nasıl hesaplayacağımı tam anlayamadım. Kosinüs teoremini duydum ama formülü uygularken karıştırıyorum. Hangi açıyı bulmak için hangi kenarları kullanacağım konusunda kafam karışıyor."

Answer 1

Kenarlar Verildiğinde Açı Nasıl Bulunur?

Bir üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde, açıları bulmak için Kosinüs Teoremi veya Sinüs Teoremi kullanılabilir. Bu yöntemler, trigonometri temelli formüllerle açı hesaplamanızı sağlar.

1. Kosinüs Teoremi ile Açı Bulma

Kosinüs teoremi, bir üçgende bir açının karşısındaki kenarın karesinin diğer kenarların kareleri toplamından iki katının ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşit olduğunu söyler:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \)

Bu formülü kullanarak açıyı bulmak için adımlar:

• Formülü açı için çöz: \( \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
• Çıkan değerin arkkosinüsünü alarak \( C \) açısını bul.

2. Sinüs Teoremi ile Açı Bulma

Sinüs teoremi, bir üçgende kenarların karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılı olduğunu belirtir:

\( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R \)

Burada \( R \) üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Bir açıyı bulmak için:

• Önce Kosinüs Teoremi ile bir açıyı bul.
• Daha sonra Sinüs Teoremi ile diğer açıları hesapla.

Örnek Uygulama

Kenarları \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = 8 \) olan bir üçgende \( C \) açısını bulalım:

• Kosinüs Teoremi: \( \cos(C) = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \)
• \( C = \cos^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81.79^\circ \)

Not: Açı hesaplarken hesap makinesinin derece modunda olduğundan emin olun.

Answer 2

Kenarlar verildi, açı bulma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |BC| = 12 cm ve |AC| = 13 cm veriliyor. B açısının ölçüsü kaç derecedir?
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
Cevap: d) 90°
Çözüm: 5-12-13 bir Pisagor üçlüsüdür (\(5^2 + 12^2 = 13^2\)). Bu durumda B açısı dik açıdır.

Soru 2: Bir DEF üçgeninde |DE| = 8 cm, |EF| = 6 cm ve m(∠E) = 60° veriliyor. |DF| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 2√7
b) 2√13
c) 10
d) 5√3
Cevap: b) 2√13
Çözüm: Kosinüs teoremi ile: \(DF^2 = 8^2 + 6^2 - 2·8·6·cos60° = 64 + 36 - 48 = 52\) → \(DF = 2\sqrt{13}\)

Soru 3: Bir KLM üçgeninde |KL| = 7 cm, |LM| = 5 cm ve |KM| = 8 cm veriliyor. L açısının kosinüs değeri nedir?
a) 1/7
b) 2/7
c) 3/7
d) 5/7
Cevap: a) 1/7
Çözüm: Kosinüs teoremi: \(cosL = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2·7·5} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}\)