Kenarlar Verildiğinde Açı Nasıl Bulunur?
Bir üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde, açıları bulmak için Kosinüs Teoremi veya Sinüs Teoremi kullanılabilir. Aşağıda bu yöntemlerin nasıl uygulanacağı açıklanmıştır.
1. Kosinüs Teoremi ile Açı Bulma
Kosinüs teoremi, bir üçgende bir açının kosinüs değerini kenar uzunlukları cinsinden ifade eder. Formül:
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \)
Burada:
- \( a, b, c \): Üçgenin kenar uzunlukları
- \( C \): \( c \) kenarının karşısındaki açı
Adımlar:
- Formülü \( \cos(C) \) için çöz: \( \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
- \( \cos(C) \) değerini hesapla.
- Hesaplanan değerin ters kosinüsünü alarak \( C \) açısını bul: \( C = \cos^{-1}\left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) \)
2. Sinüs Teoremi ile Açı Bulma
Sinüs teoremi, kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri arasında bir orantı kurar. Formül:
\( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R \)
Burada \( R \) üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.
Adımlar:
- Önce Kosinüs Teoremi ile bir açıyı bul.
- Bulunan açıyı kullanarak Sinüs Teoremi ile diğer açıları hesapla.
- Örneğin, \( A \) açısı biliniyorsa: \( \sin(B) = \frac{b \cdot \sin(A)}{a} \)
- \( B = \sin^{-1}\left( \frac{b \cdot \sin(A)}{a} \right) \) şeklinde hesaplanır.
Örnek Uygulama
Kenar uzunlukları \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = 8 \) olan bir üçgende \( C \) açısını bulalım:
- Kosinüs Teoremi: \( \cos(C) = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \)
- \( C = \cos^{-1}\left( \frac{1}{7} \right) \approx 81.79^\circ \)
Not: Açıları bulurken hesap makinesinin derece (DEG) modunda olduğundan emin olun.
