Logaritma toplama kuralı (Çarpmaya dönüştürme)

Question

Logaritma toplamını çarpıma çevirirken tam olarak nasıl yapıyoruz? Özellikle tabanlar aynı mı olmak zorunda onu tam anlamadım. Kuralı biliyorum ama işleme dökünce karıştırıyorum.

Answer 1

📘 Logaritma Toplama Kuralı (Çarpmaya Dönüştürme)

Logaritma işlemlerinde en sık kullanılan kurallardan biri, toplama işlemini çarpma işlemine dönüştüren kuraldır. Bu kural, logaritma içindeki toplamı, logaritmaların çarpımı şeklinde ifade etmemizi sağlar.

🎯 Kuralın İfadesi

Aynı tabana sahip iki logaritmanın toplamı, bu sayıların çarpımının logaritmasına eşittir:

\( \log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(x \cdot y) \)

📌 Koşullar

• ✅ Tabanlar aynı olmalıdır (\( a \)).
• ✅ \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) olmalıdır.
• ✅ \( x > 0 \) ve \( y > 0 \) olmalıdır.

💡 Nasıl Kullanılır?

Bu kuralı iki yönde kullanabiliriz:

• Soldan Sağa: Toplamı çarpıma çeviririz. ➡️ \( \log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(x \cdot y) \)
• Sağdan Sola: Çarpımı toplama ayırırız. ⬅️ \( \log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) \)

🧮 Örnekler

Örnek 1: Toplamı Çarpıma Çevirme

\( \log_2(5) + \log_2(3) \) ifadesini sadeleştirelim.

Kuralı uygularsak:

\( \log_2(5) + \log_2(3) = \log_2(5 \cdot 3) = \log_2(15) \)

🎯 Cevap: \( \log_2(15) \)

Örnek 2: Çarpımı Toplama Ayırma

\( \log(4x) \) ifadesini açalım. (Burada taban 10'dur.)

Kuralı tersten uygularsak:

\( \log(4x) = \log(4) + \log(x) \)

🎯 Cevap: \( \log(4) + \log(x) \)

Örnek 3: Üç Terimli İfade

\( \log_3(2) + \log_3(7) + \log_3(5) \) ifadesini sadeleştirelim.

Önce ilk ikisini birleştiririz:

\( \log_3(2) + \log_3(7) = \log_3(2 \cdot 7) = \log_3(14) \)

Sonra kalanı ekleriz:

\( \log_3(14) + \log_3(5) = \log_3(14 \cdot 5) = \log_3(70) \)

🎯 Cevap: \( \log_3(70) \)

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ❌ \( \log_a(x + y) \neq \log_a(x) + \log_a(y) \)
• Bu kural sadece logaritmaların toplamı için geçerlidir. Bir toplamın logaritması için böyle bir kural yoktur.

🔍 Neden Önemli?

Bu kural, logaritmik denklemleri ve ifadeleri sadeleştirmede, hesaplamaları kolaylaştırmada ve bilinmeyen değişkenleri bulmada çok kullanışlıdır.