matematik dönüşüm (öteleme-dönme) örneklerle anlatım

Question

Öteleme ve dönme hareketlerini tam olarak anlayamıyorum. Şekiller nasıl yer değiştiriyor, örneklerle anlatır mısınız?

Answer 1

📐 Matematiksel Dönüşümler: Öteleme ve Dönme

Matematiksel dönüşümler, bir nesnenin veya şeklin konumunu, yönünü veya boyutunu değiştiren işlemlerdir. Bu dönüşümler, geometri, bilgisayar grafikleri, fizik ve mühendislik gibi birçok alanda temel bir rol oynar. En yaygın dönüşümlerden ikisi öteleme ve dönmedir. Bu yazıda, bu iki önemli dönüşümü örneklerle inceleyeceğiz.

➡️ Öteleme (Translation)

Öteleme, bir nesneyi belirli bir yönde ve belirli bir mesafede hareket ettirme işlemidir. Öteleme sırasında nesnenin şekli veya boyutu değişmez, sadece konumu değişir. Öteleme, bir vektör ile ifade edilir.

• 📍 Tanım: Bir nesnenin her noktasının aynı vektör boyunca kaydırılmasıdır.
• 📍 Özellikleri:
  • Nesnenin şekli ve boyutu değişmez.
  • Nesnenin yönü değişmez.
  • Tüm noktalar aynı miktarda ve aynı yönde hareket eder.

📝 Örnek 1:

A(2, 3) noktasını (4, 1) vektörü ile öteleyelim.

Yeni nokta A' = (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4) olacaktır.

📝 Örnek 2:

Bir ABCD dikdörtgeninin köşe noktaları A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3), D(1, 3) olsun. Bu dikdörtgeni (2, -1) vektörü ile öteleyelim.

• A' = (1 + 2, 1 - 1) = (3, 0)
• B' = (4 + 2, 1 - 1) = (6, 0)
• C' = (4 + 2, 3 - 1) = (6, 2)
• D' = (1 + 2, 3 - 1) = (3, 2)

Yeni dikdörtgenin köşe noktaları A'(3, 0), B'(6, 0), C'(6, 2), D'(3, 2) olacaktır.

🔄 Dönme (Rotation)

Dönme, bir nesneyi belirli bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı kadar döndürme işlemidir. Dönme sırasında nesnenin şekli veya boyutu değişmez, sadece yönü değişir. Dönme, genellikle saat yönünde veya saat yönünün tersine bir açı ile ifade edilir.

• 📍 Tanım: Bir nesnenin bir nokta etrafında belirli bir açı kadar döndürülmesidir.
• 📍 Özellikleri:
  • Nesnenin şekli ve boyutu değişmez.
  • Nesnenin yönü değişir.
  • Dönme merkezi sabittir.

📝 Örnek 1:

A(1, 0) noktasını orijin etrafında 90 derece saat yönünün tersine döndürelim.

Dönme matrisi:
[cos(90) -sin(90)]
[sin(90) cos(90)] = [0 -1]
[1 0]

Yeni nokta A' = (0 * 1 + (-1) * 0, 1 * 1 + 0 * 0) = (0, 1) olacaktır.

📝 Örnek 2:

Bir B(2, 2) noktasını orijin etrafında 45 derece saat yönünün tersine döndürelim.

Dönme matrisi:
[cos(45) -sin(45)]
[sin(45) cos(45)] = [√2/2 -√2/2]
[√2/2 √2/2]

Yeni nokta B' = (√2/2 * 2 + (-√2/2) * 2, √2/2 * 2 + √2/2 * 2) = (0, 2√2) olacaktır.

Bu örnekler, öteleme ve dönme dönüşümlerinin nasıl uygulandığını göstermektedir. Bu dönüşümler, daha karmaşık geometrik işlemlerde ve bilgisayar grafiklerinde sıklıkla kullanılır.