mutlak değer

Question

Mutlak değerin ne olduğunu tam olarak anlamıyorum. Sayıların mutlak değeri nasıl bulunur ve bu bilgi ne işime yarar, kafam çok karışık.

Answer 1

💡 Mutlak Değer Nedir?

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağından, mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır.

📏 Mutlak Değerin Gösterimi

Bir x sayısının mutlak değeri, |x| şeklinde gösterilir. Örneğin, |3| = 3 ve |-3| = 3'tür.

➕ Mutlak Değerin Tanımı

Mutlak değerin matematiksel tanımı şöyledir:

• ➕ Eğer x ≥ 0 ise, |x| = x
• ➖ Eğer x < 0 ise, |x| = -x

Bu tanım, negatif bir sayının mutlak değerinin, o sayının negatif işareti alınarak pozitife çevrilmesi anlamına gelir.

📚 Mutlak Değerin Özellikleri

• ➕ |x| ≥ 0 (Mutlak değer her zaman pozitiftir veya sıfırdır.)
• ➖ |x| = |-x| (Bir sayının ve negatifinin mutlak değerleri eşittir.)
• ✖️ |x · y| = |x| · |y| (Çarpımın mutlak değeri, mutlak değerlerin çarpımına eşittir.)
• ➗ |x / y| = |x| / |y| (Bölümün mutlak değeri, mutlak değerlerin bölümüne eşittir, y ≠ 0)
• 🔺 |x + y| ≤ |x| + |y| (Üçgen eşitsizliği)

✍️ Mutlak Değerli Denklemler ve Eşitsizlikler

🧮 Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değerli bir denklemi çözerken, mutlak değer içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif olma durumlarını ayrı ayrı incelemeliyiz.

Örneğin, |x - 2| = 3 denklemini çözelim:

• ➕ x - 2 = 3 ise, x = 5
• ➖ x - 2 = -3 ise, x = -1

Bu nedenle, denklemin çözümleri x = 5 ve x = -1'dir.

⚖️ Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikleri çözerken, eşitsizliğin türüne göre farklı yaklaşımlar izleriz.

• ➕ |x| < a ise, -a < x < a (a > 0)
• ➖ |x| > a ise, x < -a veya x > a (a > 0)

Örneğin, |2x + 1| ≤ 5 eşitsizliğini çözelim:

-5 ≤ 2x + 1 ≤ 5

-6 ≤ 2x ≤ 4

-3 ≤ x ≤ 2

Bu nedenle, eşitsizliğin çözümü -3 ≤ x ≤ 2 aralığıdır.