Mutlak değer fonksiyonunun limiti

Question

Mutlak değer fonksiyonunda, özellikle sıfır noktasında limiti anlamakta zorlanıyorum. Fonksiyonun sağdan ve soldan yaklaşırken davranışını görselleştiremiyorum. Bu iki yöndeki limitleri nasıl değerlendireceğim konusunda kafam karışık.

Answer 1

🧮 Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti

Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sayısal değerini, işaretini dikkate almaksızın veren bir fonksiyondur. Matematiksel olarak, bir x reel sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir ve şu şekilde tanımlanır:

• ➕ Eğer x ≥ 0 ise, |x| = x
• ➖ Eğer x < 0 ise, |x| = -x

Mutlak değer fonksiyonunun limitini incelerken, kritik nokta genellikle x = 0 noktasıdır, çünkü bu noktada fonksiyonun davranışı değişir.

🎯 Limit Kavramı ve Süreklilik

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, o noktaya yaklaştıkça fonksiyonun değerinin yaklaştığı değerdir. Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. Mutlak değer fonksiyonu, her noktada süreklidir, yani her noktada limiti vardır ve bu limit fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.

🧭 Kritik Noktada Limit İncelemesi (x = 0)

x = 0 noktasında mutlak değer fonksiyonunun limitini incelerken, sağdan ve soldan limitlere ayrı ayrı bakmak önemlidir:

• ➡️ Sağdan Limit: lim (x→0+) |x| = lim (x→0+) x = 0
• ⬅️ Soldan Limit: lim (x→0-) |x| = lim (x→0-) -x = 0

Sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan, lim (x→0) |x| = 0'dır.

📈 Genel Limit Hesaplamaları

x = a gibi herhangi bir a ≠ 0 noktası için limit hesaplarken, mutlak değer fonksiyonunun tanımını kullanırız:

• ✅ Eğer a > 0 ise, lim (x→a) |x| = |a| = a
• ❌ Eğer a < 0 ise, lim (x→a) |x| = |a| = -a

💡 Örnekler

Örnek 1: lim (x→3) |x - 2| değerini bulun.

Çözüm: x = 3 noktasında, x - 2 = 1 > 0 olduğundan, |x - 2| = x - 2'dir. Bu nedenle, lim (x→3) |x - 2| = lim (x→3) (x - 2) = 3 - 2 = 1.

Örnek 2: lim (x→-2) |x + 3| değerini bulun.

Çözüm: x = -2 noktasında, x + 3 = 1 > 0 olduğundan, |x + 3| = x + 3'tür. Bu nedenle, lim (x→-2) |x + 3| = lim (x→-2) (x + 3) = -2 + 3 = 1.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 🔍 Limit hesaplarken, kritik noktaları (mutlak değerin içini sıfır yapan noktalar) özellikle inceleyin.
• 🧮 Sağdan ve soldan limitlerin eşit olup olmadığını kontrol edin.
• ✏️ Mutlak değer fonksiyonunun tanımını doğru uygulayın (x ≥ 0 ise |x| = x, x < 0 ise |x| = -x).