Mutlak Değer – Gerçek Sayı Aralığı Dönüşümleri
Mutlak değer, bir sayının işaretine bakılmaksızın büyüklüğünü ifade eder. Matematiksel olarak, bir \( x \) gerçek sayısının mutlak değeri \( |x| \) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:
- \( |x| = x \) eğer \( x \geq 0 \) ise,
- \( |x| = -x \) eğer \( x < 0 \) ise.
Mutlak Değerli İfadelerin Aralığa Dönüştürülmesi
Mutlak değer içeren eşitsizlikler, gerçek sayı aralıklarına dönüştürülebilir. Bu dönüşümler aşağıdaki kurallara göre yapılır:
- \( |x| \leq a \) eşitsizliği, \( -a \leq x \leq a \) aralığına dönüşür. Burada \( a > 0 \) olmalıdır.
- \( |x| \geq a \) eşitsizliği, \( x \leq -a \) veya \( x \geq a \) aralıklarına dönüşür. Burada \( a > 0 \) olmalıdır.
Örnekler
Örnek 1: \( |x - 3| \leq 5 \) eşitsizliğini çözün.
- Çözüm: \( -5 \leq x - 3 \leq 5 \)
- Her tarafa 3 ekleyelim: \( -2 \leq x \leq 8 \)
- Sonuç: \( x \in [-2, 8] \)
Örnek 2: \( |2x + 1| \geq 7 \) eşitsizliğini çözün.
- Çözüm: \( 2x + 1 \leq -7 \) veya \( 2x + 1 \geq 7 \)
- İlk durum: \( 2x \leq -8 \Rightarrow x \leq -4 \)
- İkinci durum: \( 2x \geq 6 \Rightarrow x \geq 3 \)
- Sonuç: \( x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty) \)
Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Mutlak değer eşitsizliklerinde \( a > 0 \) olmalıdır. Aksi halde çözüm kümesi değişir.
- Eşitsizlik yönüne göre aralıkların birleşimi veya kesişimi alınır.
- İç içe mutlak değerler varsa, işlem sırasına dikkat edilmelidir.
