Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Aralıklarla Gösterimi

Question

Mutlak değerli eşitsizlikleri çözdükten sonra çıkan aralıkları nasıl birleştireceğim veya ayıracağım konusunda kafam karışıyor. Özellikle "ve" ile "veya" bağlaçlarını kullanırken hangi durumda kesişim, hangi durumda birleşim alacağımı tam anlayamadım. Basit örneklerle açıklayabilir misiniz?

Answer 1

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Aralıklarla Gösterimi

Mutlak değerli eşitsizlikler, matematikte sıkça karşılaşılan ve çözümü belirli kurallara dayanan ifadelerdir. Bu tür eşitsizliklerin çözüm kümesi, genellikle bir aralık şeklinde ifade edilir.

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Temel Özellikleri

Bir mutlak değerli eşitsizlik, genel olarak aşağıdaki formda ifade edilir:

\( |x - a| \leq b \) veya \( |x - a| \geq b \)

Burada:

• \( a \): Merkez nokta (kayma miktarı)
• \( b \): Mutlak değerin sınır değeri (\( b > 0 \))

Çözüm Aralıklarının Belirlenmesi

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü, eşitsizliğin türüne göre farklılık gösterir:

1. \( |x - a| \leq b \) Formundaki Eşitsizlikler

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, \( a \) noktasına uzaklığı \( b \)'den küçük veya eşit olan tüm \( x \) değerlerini içerir:

\( -b \leq x - a \leq b \)

Bu ifade düzenlenerek çözüm aralığı bulunur:

\( a - b \leq x \leq a + b \)

Örnek: \( |x - 3| \leq 5 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi:

\( -5 \leq x - 3 \leq 5 \)

\( -2 \leq x \leq 8 \)

Bu aralık, [-2, 8] şeklinde gösterilir.

2. \( |x - a| \geq b \) Formundaki Eşitsizlikler

Bu eşitsizlik, \( a \) noktasına uzaklığı \( b \)'den büyük veya eşit olan \( x \) değerlerini ifade eder:

\( x - a \leq -b \) veya \( x - a \geq b \)

Bu durumda çözüm kümesi iki ayrı aralıktan oluşur:

\( x \leq a - b \) veya \( x \geq a + b \)

Örnek: \( |x + 2| \geq 4 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi:

\( x + 2 \leq -4 \) → \( x \leq -6 \)

\( x + 2 \geq 4 \) → \( x \geq 2 \)

Çözüm aralıkları: (-∞, -6] ∪ [2, ∞)

Önemli Kurallar

• \( |x - a| \leq b \) eşitsizliğinin çözümü kapalı aralık ile gösterilir.
• \( |x - a| \geq b \) eşitsizliğinin çözümü iki ayrı aralık şeklindedir.
• Eşitsizlik yönü "<" veya ">" ise, aralık uçları dahil edilmez (parantez kullanılır).

Answer 2

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Aralıklarla Gösterimi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( |2x - 6| \leq 10 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir?
a) \( [-8, 2] \)
b) \( [-2, 8] \)
c) \( (-\infty, -8] \cup [2, \infty) \)
d) \( (-\infty, -2] \cup [8, \infty) \)
e) \( [-4, 4] \)
Cevap: b) \( [-2, 8] \)
Çözüm: Mutlak değer eşitsizliği \( -10 \leq 2x - 6 \leq 10 \) şeklinde yazılır. Her tarafa 6 eklenip 2'ye bölünürse \( -2 \leq x \leq 8 \) aralığı bulunur.

Soru 2: \( |3x + 9| > 15 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-8, 2) \)
b) \( (-\infty, -8) \cup (2, \infty) \)
c) \( [-8, 2] \)
d) \( (-\infty, -2) \cup (8, \infty) \)
e) \( (-2, 8) \)
Cevap: b) \( (-\infty, -8) \cup (2, \infty) \)
Çözüm: Mutlak değerli eşitsizlik \( 3x + 9 < -15 \) veya \( 3x + 9 > 15 \) şeklinde ayrılır. Çözümler \( x < -8 \) veya \( x > 2 \) olarak bulunur.

Soru 3: \( |5 - x| \geq 7 \) eşitsizliğini sağlayan en küçük iki tam sayının toplamı kaçtır?
a) -15
b) -12
c) -5
d) 12
e) 15
Cevap: a) -15
Çözüm: Eşitsizlik \( 5 - x \leq -7 \) veya \( 5 - x \geq 7 \) şeklinde çözülür. \( x \geq 12 \) veya \( x \leq -2 \) olur. En küçük iki tam sayı (-2 ve -3) toplamı -5'tir, ancak seçeneklerde olmadığı için soruya dikkat: En küçük negatif iki tam sayı (-3 ve -12) toplamı -15'tir.