📏 Noktanın Doğruya Uzaklığı Örnekleri
Bu ders notunda, noktanın bir doğruya olan uzaklığını hesaplama konusunu örneklerle inceleyeceğiz.
📐 Temel Kavramlar
Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı, o noktadan doğruya çizilen en kısa mesafedir. Bu mesafe, noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğuna eşittir.
Doğru denklemi genellikle `Ax + By + C = 0` şeklinde ifade edilir. Bir `P(x₁, y₁)` noktasının bu doğruya olan uzaklığı aşağıdaki formülle hesaplanır:
Uzaklık = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
Formülde kullanılan sembollerin anlamları:
* `A`, `B`, ve `C`: Doğru denkleminin katsayıları.
* `x₁` ve `y₁`: Noktanın koordinatları.
* `|...|`: Mutlak değer (sonucun pozitif olmasını sağlar).
* `√(...)`: Karekök.
✏️ Örnek 1: Basit Bir Uygulama
Bir `P(3, 4)` noktasının `3x + 4y - 10 = 0` doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
Formülü uygulayalım:
Uzaklık = |(3 * 3) + (4 * 4) - 10| / √(3² + 4²)
Uzaklık = |9 + 16 - 10| / √(9 + 16)
Uzaklık = |15| / √25
Uzaklık = 15 / 5
Uzaklık = 3
Sonuç: `P(3, 4)` noktasının `3x + 4y - 10 = 0` doğrusuna olan uzaklığı 3 birimdir.
📝 Örnek 2: Negatif Katsayılar
Bir `P(-2, 1)` noktasının `-2x + y + 5 = 0` doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
Formülü uygulayalım:
Uzaklık = |(-2 * -2) + (1 * 1) + 5| / √((-2)² + 1²)
Uzaklık = |4 + 1 + 5| / √(4 + 1)
Uzaklık = |10| / √5
Uzaklık = 10 / √5
Uzaklık = 10√5 / 5
Uzaklık = 2√5
Sonuç: `P(-2, 1)` noktasının `-2x + y + 5 = 0` doğrusuna olan uzaklığı `2√5` birimdir.
📚 Örnek 3: Kesirli Sayılar
Bir `P(1/2, 3/4)` noktasının `x - y + 1 = 0` doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
Formülü uygulayalım:
Uzaklık = |(1 * 1/2) + (-1 * 3/4) + 1| / √(1² + (-1)²)
Uzaklık = |1/2 - 3/4 + 1| / √(1 + 1)
Uzaklık = |2/4 - 3/4 + 4/4| / √2
Uzaklık = |3/4| / √2
Uzaklık = 3 / (4√2)
Uzaklık = (3√2) / (4 * 2)
Uzaklık = (3√2) / 8
Sonuç: `P(1/2, 3/4)` noktasının `x - y + 1 = 0` doğrusuna olan uzaklığı `(3√2) / 8` birimdir.
📌 Önemli Notlar
* Doğru denkleminin genel formda (`Ax + By + C = 0`) olduğundan emin olun.
* Mutlak değer, uzaklığın her zaman pozitif olmasını sağlar.
* Karekök alırken dikkatli olun.
✅ Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmaları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz:
- 🍎 Alıştırma 1: `P(0, 0)` noktasının `x + y - 1 = 0` doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
- 🍐 Alıştırma 2: `P(5, -2)` noktasının `2x - y + 3 = 0` doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
- 🍊 Alıştırma 3: `P(-1, -1)` noktasının `-x + 3y - 5 = 0` doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
