📐 Normal Denklemi Nasıl Bulunur?
Bir doğrunun normal denklemi, doğrunun orijine olan uzaklığını ve normal vektörünü kullanarak ifade edilen özel bir denklem şeklidir. Bu konuyu adım adım öğrenelim.
🎯 Normal Denklemin Tanımı
Bir doğrunun normal denklemi genel olarak şu şekilde yazılır:
\( x \cdot \cos\theta + y \cdot \sin\theta = p \)
Burada:
- 📌 θ: Orijinden çizilen normalin (dikme) x-ekseni ile yaptığı açı
- 📌 p: Doğrunun orijine olan uzaklığı
🔍 Adım Adım Normal Denklemi Bulma
1️⃣ Adım: Genel Denklemden Başlama
Doğrunun genel denklemi: \( ax + by + c = 0 \) şeklindedir.
2️⃣ Adım: Normal Vektörü Belirleme
Genel denklemdeki katsayılar bize normal vektörü verir: \( \vec{n} = (a, b) \)
3️⃣ Adım: Normal Vektörü Birim Vektör Yapma
Normal vektörün uzunluğunu bulalım: \( |\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Birim normal vektör: \( \vec{u} = \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) \)
4️⃣ Adım: Orijine Uzaklığı Hesaplama
Doğrunun orijine uzaklığı: \( p = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
5️⃣ Adım: Normal Denklemi Yazma
Normal denklem: \( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}y = \frac{-c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
📝 Örnek Çözüm
Örnek: \( 3x + 4y - 10 = 0 \) doğrusunun normal denklemini bulalım.
Çözüm:
- ✅ Normal vektör: \( \vec{n} = (3, 4) \)
- ✅ Normal vektörün uzunluğu: \( \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
- ✅ Birim normal vektör: \( \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \)
- ✅ Orijine uzaklık: \( p = \frac{10}{5} = 2 \)
- ✅ Normal denklem: \( \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y = 2 \)
💡 Önemli Notlar
- 📚 Normal denklemde katsayıların kareleri toplamı her zaman 1'dir
- 📚 p değeri her zaman pozitiftir (uzaklık olduğu için)
- 📚 Normal denklem, bir noktanın doğruya uzaklığını hesaplamada çok kullanışlıdır
