Örnek Uzay ve Bağımsız Olaylar: TYT Matematik Konu Anlatımı ve Örnek Sorular

Question

Örnek uzay ve bağımsız olaylar konuları biraz karışık geliyor. Hangi olayın bağımsız olduğunu nasıl anlayacağımı ve örnek uzayı nasıl doğru kuracağımı tam kestiremiyorum.

Answer 1

🧮 Örnek Uzay Nedir?

Örnek uzay, bir deneyde elde edilebilecek tüm olası sonuçların kümesidir. Yani, bir deney yaptığımızda ne olabileceğine dair aklımıza gelen her şeyi bir araya topladığımızda, işte o bizim örnek uzayımız oluyor.

• 🎲 Zar Atma Deneyi: Bir zar attığımızda gelebilecek sayılar (1, 2, 3, 4, 5, 6) bir örnek uzay oluşturur. Bu örnek uzayı genellikle E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} şeklinde gösteririz.
• 🪙 Para Atma Deneyi: Bir parayı havaya attığımızda yazı (Y) veya tura (T) gelebilir. Örnek uzayımız E = {Y, T} olur.

❓ Örnek Soru 1

İki madeni para aynı anda havaya atılıyor. Örnek uzayı bulunuz.

Çözüm:

Birinci para için yazı (Y) veya tura (T) gelebilir. Aynı şekilde ikinci para için de yazı (Y) veya tura (T) gelebilir. Tüm olasılıkları yazalım:

• 🥇 Birinci para Y, ikinci para Y (YY)
• 🥈 Birinci para Y, ikinci para T (YT)
• 🥉 Birinci para T, ikinci para Y (TY)
• 🏅 Birinci para T, ikinci para T (TT)

Örnek uzayımız E = {YY, YT, TY, TT} olur.

🤝 Bağımsız Olaylar Nedir?

İki olayın bağımsız olması, birinin gerçekleşmesinin diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilememesi anlamına gelir. Yani, bir olay oldu diye diğer olayın olma ihtimali değişmiyorsa, bu iki olay bağımsızdır.

• 🎲 Örnek: Bir zar attığımızda 3 gelmesi ile bir madeni para attığımızda tura gelmesi bağımsız olaylardır. Zarın sonucu paranın sonucunu etkilemez.

🤔 Bağımsız Olayların Olasılığı Nasıl Hesaplanır?

Eğer A ve B bağımsız olaylar ise, her ikisinin de aynı anda gerçekleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.

P(A ve B) = P(A) * P(B)

❓ Örnek Soru 2

Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor. Zarın 5 gelme ve paranın tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Zarın 5 gelme olasılığı: $P(5) = \frac{1}{6}$

Paranın tura gelme olasılığı: $P(T) = \frac{1}{2}$

Her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı:

$P(5 \text{ ve } T) = P(5) * P(T) = \frac{1}{6} * \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$

❓ Örnek Soru 3

Bir torbada 3 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekilip, yerine konulduktan sonra bir bilye daha çekiliyor. İki çekilişte de kırmızı bilye gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

İlk çekilişte kırmızı gelme olasılığı: $P(K_1) = \frac{3}{8}$ (Toplam 8 bilye var, 3'ü kırmızı)

Bilye geri konulduğu için ikinci çekilişte de kırmızı gelme olasılığı aynıdır: $P(K_2) = \frac{3}{8}$

İki çekilişte de kırmızı gelme olasılığı:

$P(K_1 \text{ ve } K_2) = P(K_1) * P(K_2) = \frac{3}{8} * \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$