🎨 Parabolün Tanımı ve Temel Özellikleri
Parabol, analitik geometride, bir noktaya (odak) ve bir doğruya (doğrultman) eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir. Günlük hayatta köprü kemerlerinde, uydu antenlerinde ve bazı mimari yapılarda sıklıkla karşımıza çıkar.
- 🎯 Odak (F): Parabolün iç bölgesinde yer alan sabit noktadır.
- 📏 Doğrultman (d): Parabolün dış bölgesinde yer alan sabit doğrudur.
- 📍 Tepe Noktası (T): Parabol üzerindeki en uç noktadır. Odak ile doğrultman arasındaki mesafenin orta noktasında bulunur.
- محور Eksen: Odaktan geçen ve doğrultmana dik olan doğrudur. Parabolü simetrik olarak ikiye böler.
📊 Parabolün Denklemi
Parabolün denklemi, koordinat sistemine göre farklı şekillerde ifade edilebilir. En temel denklemi y = ax² + bx + c şeklindedir.
🍎 Temel Parabol Denklemi (y = ax²)
Bu denklemde parabolün tepe noktası orijindedir (0,0). 'a' katsayısı parabolün yönünü ve genişliğini belirler.
- 📈 a > 0: Parabol yukarı doğru bakar (kolları yukarı).
- 📉 a < 0: Parabol aşağı doğru bakar (kolları aşağı).
- ↔️ |a| büyüdükçe: Parabol daralır.
- ↔️ |a| küçüldükçe: Parabol genişler.
📝 Genel Parabol Denklemi (y = ax² + bx + c)
Bu denklemde parabolün tepe noktası (0,0) dışında bir noktadadır. Tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:
- 📍 Tepe Noktası (T): T(r, k) olmak üzere, r = -b / 2a ve k = f(r) = a(r)² + b(r) + c
🧩 Parabolün Grafiği
Parabolün grafiğini çizmek için aşağıdaki adımlar izlenebilir:
- 📍 Tepe Noktasını Bul: T(r, k) koordinatlarını hesapla.
- محور Ekseni Çiz: Tepe noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğruyu çiz.
- ✂️ Eksenleri Kestiği Noktaları Bul:
- ➡️ x eksenini kestiği noktalar (kökler): y = 0 için denklemi çöz. Diskriminant (Δ = b² - 4ac) yardımıyla köklerin varlığını ve sayısını belirle.
- ⬆️ y eksenini kestiği nokta: x = 0 için y değerini bul (y = c).
- ➕ Ek Noktalar Belirle: Simetriyi kullanarak birkaç ek nokta belirle ve grafiği çiz.
🧮 Diskriminant ve Kökler
Diskriminant (Δ = b² - 4ac), parabolün x eksenini kaç noktada kestiğini belirler.
- ✅ Δ > 0: Parabol x eksenini iki farklı noktada keser (iki reel kök).
- ➖ Δ = 0: Parabol x eksenine teğettir (çakışık iki reel kök).
- ❌ Δ < 0: Parabol x eksenini kesmez (reel kök yok).
