Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü

Question

Bu formülü anlamakta zorlanıyorum. Paralel doğruların denklemlerini nasıl kullanacağımı tam olarak kavrayamadım. Özellikle denklemleri genel forma getirip katsayıları yerine koyarken kafam karışıyor.

Answer 1

📏 Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bu doğrulardan birinin üzerindeki herhangi bir noktanın diğer doğruya olan dik uzaklığına eşittir. Bu uzaklık sabittir ve doğrular boyunca değişmez.

🎯 Genel Formül

Doğru denklemleri genel formda verilmişse:

• Doğru 1: \( ax + by + c_1 = 0 \)
• Doğru 2: \( ax + by + c_2 = 0 \)

Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık \( d \) formülü:

\[ d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

💡 Formülün Uygulanışı

Formülü kullanırken dikkat edilmesi gereken noktalar:

• ✅ İki doğrunun da katsayıları aynı olmalı (\( a \) ve \( b \))
• ✅ Sadece sabit terimler farklı olmalı (\( c_1 \) ve \( c_2 \))
• ✅ Paydaki farkın mutlak değeri alınmalı
• ✅ Payda ise katsayıların kareler toplamının karekökü bulunmalı

📝 Örnek Çözüm

Örnek: \( 3x + 4y - 6 = 0 \) ve \( 3x + 4y + 12 = 0 \) doğruları arasındaki uzaklığı bulalım.

Çözüm:

• \( a = 3 \), \( b = 4 \)
• \( c_1 = -6 \), \( c_2 = 12 \)
• \( |c_1 - c_2| = |-6 - 12| = |-18| = 18 \)
• \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
• \( d = \frac{18}{5} = 3.6 \) birim

🔍 Özel Durumlar

Dikey Paralel Doğrular: \( x = k_1 \) ve \( x = k_2 \) şeklindeki doğrular arasındaki uzaklık:

\[ d = |k_1 - k_2| \]

Yatay Paralel Doğrular: \( y = m_1 \) ve \( y = m_2 \) şeklindeki doğrular arasındaki uzaklık:

\[ d = |m_1 - m_2| \]

📌 Pratik İpucu

Paralel doğrular arasındaki uzaklığı bulmak için:

• ➡️ Doğrulardan birinin üzerinde herhangi bir nokta seç
• ➡️ Bu noktanın diğer doğruya olan uzaklığını nokta-doğru uzaklığı formülüyle hesapla
• ➡️ Sonuç her zaman aynı çıkacaktır!

Bu formül, geometri problemlerinde ve mühendislik uygulamalarında sıkça kullanılan temel bir bağıntıdır. 🎓