Sabit fonksiyonun türevi (f(x)=c)

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Sabit bir sayının türevinin neden sıfır olduğunu mantığıyla kavrayamadım. Grafikte düz bir çizgi olunca eğiminin sıfır olması mantıklı geliyor ama bunu türev tanımıyla nasıl bağdaştıracağım?

Answer 1

📘 Sabit Fonksiyonun Türevi

Matematikte, sabit fonksiyon, tanım kümesindeki her \( x \) değeri için aynı sabit değeri veren fonksiyondur. Genel olarak \( f(x) = c \) şeklinde gösterilir, burada \( c \) bir reel sayıdır (örneğin, 5, -2, \( \pi \) gibi).

🎯 Türevin Tanımı

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun herhangi bir noktadaki değişim oranını veya eğimini ifade eder. Türev, limit kullanılarak aşağıdaki gibi tanımlanır:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

🧮 Sabit Fonksiyonun Türevini Alma

Şimdi, \( f(x) = c \) sabit fonksiyonunun türevini bu tanımı kullanarak bulalım.

• ➡️ Fonksiyonumuz: \( f(x) = c \)
• ➡️ \( f(x+h) \) ifadesini yazalım: Sabit fonksiyon olduğu için \( f(x+h) \) de \( c \)'ye eşittir. Yani, \( f(x+h) = c \).

Bu değerleri türev tanımında yerine koyalım:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 \]

\( h \) sıfıra yaklaşırken, sonuç her zaman 0'dır. Bu nedenle:

\[ f'(x) = 0 \]

💡 Sonuç ve Yorum

Sabit bir fonksiyonun türevi her noktada 0'dır.

Bunun sebebi oldukça sezgiseldir: Sabit bir fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur. Yatay bir doğrunun her noktadaki eğimi ise 0'dır. Türev bize eğimi verdiği için, sonuç doğal olarak 0 olur. Fonksiyon değeri hiç değişmediği ("sabit" kaldığı) için değişim oranı da sıfırdır.

📌 Örnekler

• ✅ \( f(x) = 5 \) ise, \( f'(x) = 0 \)
• ✅ \( g(x) = -3 \) ise, \( g'(x) = 0 \)
• ✅ \( h(t) = \sqrt{2} \) ise, \( h'(t) = 0 \)

💬 Hatırlatma: Türev alma kurallarını öğrenirken, sabit fonksiyonun türevinin 0 olduğu temel bir kuraldır ve diğer türev kurallarıyla birlikte (toplam, fark, çarpım, bölüm kuralı gibi) sıklıkla kullanılır.