Sayı Doğrusu ile Mutlak Değerli Aralıkların Gösterimi

Question

Hocam sayı doğrusunda mutlak değerli ifadelerin aralıklarını gösterirken kafam karışıyor. Özellikle |x-a| 2 CEVAPLARI GÖR

Answer 1

Sayı Doğrusu ile Mutlak Değerli Aralıkların Gösterimi

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve matematiksel olarak \( |x| \) şeklinde gösterilir. Mutlak değerli ifadelerin sayı doğrusunda gösterimi, belirli aralıkları anlamamıza yardımcı olur.

Mutlak Değerin Tanımı

Bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri:

• \( |x| = x \) eğer \( x \geq 0 \) ise,
• \( |x| = -x \) eğer \( x < 0 \) ise.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Sayı Doğrusu

1. \( |x| < a \) Gösterimi:

• Bu ifade, \( x \)'in sıfıra olan uzaklığının \( a \)'dan küçük olduğunu belirtir.
• Sayı doğrusunda \( -a \) ile \( a \) arasındaki tüm noktaları kapsar.
• Örnek: \( |x| < 3 \) → \( -3 < x < 3 \) aralığı.

2. \( |x| > a \) Gösterimi:

• Bu ifade, \( x \)'in sıfıra olan uzaklığının \( a \)'dan büyük olduğunu belirtir.
• Sayı doğrusunda \( x < -a \) veya \( x > a \) şeklinde iki ayrı bölgeyi gösterir.
• Örnek: \( |x| > 2 \) → \( x < -2 \) veya \( x > 2 \).

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: \( |x - 1| \leq 4 \) ifadesinin sayı doğrusundaki gösterimi:

• Bu ifade \( -4 \leq x - 1 \leq 4 \) şeklinde yazılabilir.
• Çözüm: \( -3 \leq x \leq 5 \). Sayı doğrusunda \( -3 \) ile \( 5 \) arasındaki tüm noktalar dahildir.

Örnek 2: \( |2x + 3| > 5 \) ifadesinin çözümü:

• Bu ifade \( 2x + 3 < -5 \) veya \( 2x + 3 > 5 \) şeklinde ayrılır.
• Çözüm: \( x < -4 \) veya \( x > 1 \). Sayı doğrusunda bu iki aralık ayrık olarak gösterilir.

Not: Mutlak değerli eşitsizliklerde, eşitsizliğin yönüne göre aralığın birleşim veya kesişim olduğuna dikkat edilmelidir.

Answer 2

Sayı Doğrusu ile Mutlak Değerli Aralıkların Gösterimi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: |x - 3| ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi sayı doğrusunda nasıl gösterilir?
a) -2 ≤ x ≤ 8 (kapalı aralık)
b) x ≤ -2 veya x ≥ 8 (iki ayrık aralık)
c) -5 ≤ x ≤ 5 (kapalı aralık)
d) x ≤ 3 (sonsuza uzanan aralık)
e) 3 ≤ x ≤ 5 (kapalı aralık)
Cevap: a) -2 ≤ x ≤ 8 (kapalı aralık)
Çözüm: |x - 3| ≤ 5 → -5 ≤ x - 3 ≤ 5 → -2 ≤ x ≤ 8. Sayı doğrusunda -2 ve 8 noktaları dahil arasındaki tüm değerler taralı gösterilir.

Soru 2: |2x + 4| > 6 eşitsizliğinin sayı doğrusundaki gösterimi için hangisi doğrudur?
a) -5 < x < 1 (açık aralık)
b) x < -5 veya x > 1 (iki ayrık taralı bölge)
c) -1 ≤ x ≤ 5 (kapalı aralık)
d) x > 4 (sadece sağ taraf)
e) x = -5 ve x = 1 (sadece iki nokta)
Cevap: b) x < -5 veya x > 1 (iki ayrık taralı bölge)
Çözüm: |2x + 4| > 6 → 2x + 4 < -6 veya 2x + 4 > 6 → x < -5 veya x > 1. Sayı doğrusunda -5'in solundaki ve 1'in sağındaki tüm değerler ayrı ayrı taralı gösterilir.

Soru 3: |x + 1| = 3 denkleminin kökleri sayı doğrusunda işaretlendiğinde, bu noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
Cevap: d) 6
Çözüm: x + 1 = 3 → x = 2 ve x + 1 = -3 → x = -4. Kökler 2 ve -4'tür. Aralarındaki uzaklık |2 - (-4)| = 6 birimdir.