Trigonometride, bir açının iki katının trigonometrik değerlerini, o açının trigonometrik değerleri cinsinden ifade eden formüllere çift açı formülleri denir. Bu ders notunda tan(2a) formülünü türetecek, ispatını yapacak ve örneklerle pekiştireceğiz.
tan(2a) formülünü elde etmek için, öncelikle tanjantın toplam formülünü hatırlamamız gerekir:
\[ \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} \]
Yukarıdaki toplam formülünde x = a ve y = a alırsak:
\[ \tan(2a) = \tan(a + a) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \]
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde, tan(2a) formülünü elde ederiz:
\[ \boxed{\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}} \]
⚠️ Önemli Not: Bu formülün geçerli olması için;
Formülü sadece sinüs ve kosinüs cinsinden de yazabiliriz:
\[ \tan(2a) = \frac{2\sin a \cos a}{\cos^2 a - \sin^2 a} \]
Bu ifade, \(\sin(2a) = 2\sin a \cos a\) ve \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\) formüllerinin oranıdır.
Soru: \(\tan a = 3\) ise \(\tan(2a)\) değeri kaçtır?
Çözüm:
\[ \tan(2a) = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} \]
Soru: \(a = 15^\circ\) için \(\tan(30^\circ)\) değerini formülle bulunuz.
Çözüm: \(\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}\) olduğunu biliyoruz.
\[ \tan(30^\circ) = \tan(2\cdot15^\circ) = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{1 - (2 - \sqrt{3})^2} \]
Hesap yapıldığında sonucun \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) yani \(\tan 30^\circ\)'ye eşit olduğu görülür.
tan(2a) formülünün kullanıldığı durumlar:
"İki tananın payda, bir eksi tanakare payda" şeklinde bir akrostişle formülü kolayca hatırlayabilirsiniz: 2 tana / 1 - tan²a
Bu ders notunda, \(\tan(2a)\) formülünün türetilmesini, ispatını ve uygulama örneklerini öğrendik. Formülü doğru kullanabilmek için tanjant değerlerinin tanımlı olduğu aralıklara ve paydanın sıfır olmaması koşuluna dikkat etmeyi unutmayın.
