📐 Ters Dönüşüm Formülleri (Çarpımı Toplama Çevirme)
Bu formüller, iki trigonometrik fonksiyonun çarpımını, toplam veya farka dönüştürmek için kullanılır. Bu sayede daha karmaşık görünen ifadeleri sadeleştirebilir ve denklemleri çözmek kolaylaşır.
🎯 Formüllerin Türetilmesi
Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden doğrudan elde edilir. Toplam ve fark formüllerini hatırlayalım:
- \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
- \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)
- \( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)
- \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
Bu formülleri toplayarak veya çıkararak çarpımı toplama çeviren formülleri elde ederiz.
🧮 Temel Ters Dönüşüm Formülleri
➗ Sinüs ve Sinüs Çarpımı
\( \sin A + \sin B \) ve \( \sin A - \sin B \) formüllerini kullanarak:
- \( \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [ \cos(A - B) - \cos(A + B) ] \)
➗ Kosinüs ve Kosinüs Çarpımı
\( \cos A + \cos B \) ve \( \cos A - \cos B \) formüllerini kullanarak:
- \( \cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [ \cos(A - B) + \cos(A + B) ] \)
➗ Sinüs ve Kosinüs Çarpımı
\( \sin(A + B) \) ve \( \sin(A - B) \) formüllerini kullanarak:
- \( \sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [ \sin(A + B) + \sin(A - B) ] \)
💡 Formüllerin Özeti
- ✅ \( \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [ \cos(A - B) - \cos(A + B) ] \)
- ✅ \( \cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [ \cos(A - B) + \cos(A + B) ] \)
- ✅ \( \sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [ \sin(A + B) + \sin(A - B) ] \)
📝 Örnek Uygulamalar
✨ Örnek 1:
\( \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ \) ifadesinin değerini bulalım.
Formülü uygulayalım:
- \( \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ = \frac{1}{2} [ \cos(75^\circ - 15^\circ) - \cos(75^\circ + 15^\circ) ] \)
- \( = \frac{1}{2} [ \cos 60^\circ - \cos 90^\circ ] \)
- \( = \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} - 0 ] = \frac{1}{4} \)
✨ Örnek 2:
\( \cos 45^\circ \cdot \cos 15^\circ \) ifadesinin değerini bulalım.
Formülü uygulayalım:
- \( \cos 45^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2} [ \cos(45^\circ - 15^\circ) + \cos(45^\circ + 15^\circ) ] \)
- \( = \frac{1}{2} [ \cos 30^\circ + \cos 60^\circ ] \)
- \( = \frac{1}{2} [ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} ] = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} \)
🎓 Pratik İpuçları
- 📌 Formülleri ezberlerken, hangi işaretin (+) veya (-) kullanıldığına dikkat edin.
- 📌 İntegral hesaplamalarında ve trigonometrik denklemlerin çözümünde bu formüller oldukça faydalıdır.
- 📌 Formüllerdeki \( \frac{1}{2} \) katsayısını unutmayın!
