# 📘 Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları – Ders Notu
🎯 Periyot Kavramı Nedir?
Bir fonksiyonun periyodu, fonksiyonun değerlerinin belirli aralıklarla tekrar ettiği en küçük pozitif sayıdır. Matematiksel olarak, bir \( f(x) \) fonksiyonu için \( T > 0 \) periyodu şu şartı sağlar:
\[ f(x + T) = f(x) \quad \text{her } x \text{ için} \]
Trigonometrik fonksiyonlar, doğaları gereği periyodiktir ve bu periyotlar fonksiyonun türüne göre değişir.
📐 Temel Trigonometrik Fonksiyonlar ve Periyotları
🔄 1. Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları
Sinüs (\( \sin x \)) ve Kosinüs (\( \cos x \)) fonksiyonlarının periyodu:
- 🎓 Temel Periyot: \( 2\pi \) radyan (veya 360°)
- 📝 Matematiksel İfade: \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \) ve \( \cos(x + 2\pi) = \cos x \)
- 📌 Örnek: \( \sin(0) = 0 \), \( \sin(2\pi) = 0 \), \( \sin(4\pi) = 0 \)
📈 2. Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları
Tanjant (\( \tan x \)) ve Kotanjant (\( \cot x \)) fonksiyonlarının periyodu:
- 🎓 Temel Periyot: \( \pi \) radyan (veya 180°)
- 📝 Matematiksel İfade: \( \tan(x + \pi) = \tan x \) ve \( \cot(x + \pi) = \cot x \)
- ⚠️ Not: Bu fonksiyonlar tanımsız oldukları noktalara dikkat edilmelidir.
🔄 3. Sekant ve Kosekant Fonksiyonları
Sekant (\( \sec x \)) ve Kosekant (\( \csc x \)) fonksiyonları:
- 🎓 Temel Periyot: \( 2\pi \) radyan
- 📝 Sebep: \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \) ve \( \csc x = \frac{1}{\sin x} \) olduğundan, periyotları sinüs ve kosinüs ile aynıdır.
🔢 Genel Periyot Formülü
Trigonometrik fonksiyonların içinde \( x \)'in katsayısı \( k \) ise (yani \( \sin(kx) \), \( \cos(kx) \), \( \tan(kx) \) gibi), periyot şu formülle bulunur:
📘 Sinüs, Kosinüs, Sekant, Kosekant için:
\[ \text{Periyot} (T) = \frac{2\pi}{|k|} \]
📙 Tanjant ve Kotanjant için:
\[ \text{Periyot} (T) = \frac{\pi}{|k|} \]
🧮 Örnek Soru Çözümü:
Soru: \( y = \sin(4x) \) fonksiyonunun periyodu nedir?
Çözüm: \( k = 4 \) olduğundan,
\[ T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]
Yani fonksiyon her \( \frac{\pi}{2} \) radyanda bir tekrar eder.
🎓 Özet Tablosu
- ✅ Sinüs, Kosinüs, Sekant, Kosekant: Temel periyot \( 2\pi \)
- ✅ Tanjant, Kotanjant: Temel periyot \( \pi \)
- ✅ İçinde \( kx \) olursa: Periyotu \( k \)'ya bölünür.
💡 Pratik Uyarılar
- ⚠️ Periyot her zaman pozitif olmalıdır.
- ⚠️ Periyot bulunurken mutlak değer alınır (\( |k| \)).
- ⚠️ Birden fazla trigonometrik fonksiyonun toplamı/farkı durumunda, periyotların EKOK'u alınır.
Bu konu, trigonometri ve periyodik hareket problemlerinin temelini oluşturur. Periyot kavramını iyi anlamak, ileri matematik ve fizik konularında büyük kolaylık sağlayacaktır. 🧠✨
