🧑🏫 TYT Dairesel Permütasyon ve Bağımlı Olaylar
Dairesel permütasyon, nesnelerin veya kişilerin bir daire etrafında sıralanmasıdır. Bu sıralamada, başlangıç noktası önemli değildir; yani, aynı sıraya sahip ancak farklı bir başlangıç noktasından başlayan dizilişler aynı kabul edilir. Bağımlı olaylar ise, bir olayın gerçekleşme olasılığının başka bir olayın gerçekleşmesine bağlı olduğu durumlardır. Şimdi, bu iki kavramı birleştirerek, birbirine bağlı kişilerin dairesel bir şekilde nasıl sıralanacağını inceleyelim.
🔄 Dairesel Permütasyonun Temelleri
Düz bir sırada $n$ farklı nesneyi sıralamanın $n!$ farklı yolu vardır. Ancak dairesel permütasyonda, dönmeler aynı kabul edildiği için, farklı sıralama sayısı $(n-1)!$ olur.
- 🍎 Formül: Dairesel permütasyon sayısı $(n-1)!$ ile hesaplanır.
- 🍎 Örnek: 5 arkadaş yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? Cevap: $(5-1)! = 4! = 24$
🔗 Bağımlı Olaylar ve Dairesel Sıralama
Bazen, dairesel sıralamada bazı kişilerin yan yana olması veya olmaması gibi kısıtlamalar olabilir. Bu tür durumlar bağımlı olayları içerir ve sıralama sayısını etkiler.
- 🍎 Yan Yana Olma Durumu: Belirli iki kişinin yan yana olması isteniyorsa, bu iki kişiyi tek bir birim olarak düşünürüz.
- 🍎 Örnek: 6 kişi yuvarlak bir masa etrafında oturacak. Ali ve Ayşe'nin yan yana oturması koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
- 🍏 Ali ve Ayşe'yi tek bir birim olarak düşünelim. Bu durumda, sıralanacak 5 birim (4 kişi + 1 Ali-Ayşe birimi) vardır.
- 🍏 Bu 5 birim $(5-1)! = 4! = 24$ şekilde sıralanabilir.
- 🍏 Ali ve Ayşe kendi aralarında 2! = 2 farklı şekilde sıralanabilirler.
- 🍏 Toplam sıralama sayısı: $24 \times 2 = 48$
- 🍎 Yan Yana Olmama Durumu: Belirli iki kişinin yan yana olmaması isteniyorsa, tüm durum sayısından yan yana oldukları durum sayısını çıkarırız.
- 🍎 Örnek: 6 kişi yuvarlak bir masa etrafında oturacak. Ali ve Ayşe'nin yan yana oturmaması koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
- 🍏 Tüm durum sayısı: $(6-1)! = 5! = 120$
- 🍏 Ali ve Ayşe'nin yan yana olduğu durum sayısı: 48 (yukarıda hesapladık)
- 🍏 Ali ve Ayşe'nin yan yana olmadığı durum sayısı: $120 - 48 = 72$
✍️ Örnek Soru Çözümü
Şimdi, öğrendiklerimizi pekiştirmek için bir örnek soru çözelim:
Soru: 4 kız ve 3 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Herhangi iki erkek öğrencinin yan yana olmaması koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Çözüm:
- 🍎 Öncelikle kızları yuvarlak masa etrafında sıralayalım. Bu $(4-1)! = 3! = 6$ şekilde olur.
- 🍎 Şimdi erkekler için uygun yerleri belirleyelim. Kızlar oturduktan sonra, erkekler için 4 boş yer oluşur (kızların araları).
- 🍎 3 erkek öğrenciyi bu 4 boş yere $P(4,3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 24$ şekilde yerleştirebiliriz.
- 🍎 Toplam sıralama sayısı: $6 \times 24 = 144$
🎯 Sonuç
Dairesel permütasyonda bağımlı olaylar, sıralama problemlerine farklı bir boyut kazandırır. Kişilerin birbirine bağlı olma durumları, sıralama sayısını önemli ölçüde etkiler. Bu tür problemleri çözerken, kısıtlamaları dikkatlice analiz etmek ve uygun stratejiler geliştirmek önemlidir. Unutmayın, pratik yaparak bu konudaki becerilerinizi geliştirebilirsiniz!
