Bir üçgenin çizilebilmesi için belirli matematiksel kuralların sağlanması gerekir. Bu kurallar, üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkiyi tanımlar.
Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği kuralı sağlanmalıdır. Bu kurala göre, herhangi bir üçgenin iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyük olmalıdır.
Matematiksel olarak, bir üçgenin kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \) ise:
Örnek: Kenarları 3, 4 ve 8 birim olan bir üçgen çizilemez çünkü \( 3 + 4 = 7 \), \( 8 \)'den küçüktür.
Bir üçgenin çizilebilmesi için iç açılarının toplamı 180 derece olmalıdır. Eğer verilen açıların toplamı 180 dereceyi geçerse veya eksik kalırsa, üçgen çizilemez.
Matematiksel olarak:
Örnek: Açıları \( 90^\circ \), \( 60^\circ \) ve \( 40^\circ \) olan bir üçgen çizilemez çünkü toplam \( 190^\circ \) yapar.
Bir üçgende, daha büyük açının karşısında daha uzun kenar bulunur. Eğer bu ilişki sağlanmazsa üçgen çizilemez.
Örnek: Bir üçgende \( a = 5 \), \( b = 7 \) ve \( \angle A = 60^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \) ise bu üçgen çizilemez çünkü daha büyük açı (\( 60^\circ \)) daha kısa kenarın (\( a = 5 \)) karşısındadır.
Bir üçgenin çizilebilmesi için:
Soru 1: Aşağıdaki kenar uzunluklarından hangisi ile bir üçgen çizilebilir?
a) 3 cm, 4 cm, 8 cm
b) 5 cm, 5 cm, 10 cm
c) 6 cm, 7 cm, 9 cm
d) 2 cm, 3 cm, 6 cm
Cevap: c) 6 cm, 7 cm, 9 cm
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Seçenek c'de 6+7>9, 6+9>7 ve 7+9>6 sağlanır.
Soru 2: Bir üçgenin iç açıları 30° ve 60° ise, bu üçgenin çizilebilmesi için üçüncü açı kaç derece olmalıdır?
a) 60°
b) 90°
c) 100°
d) 120°
Cevap: b) 90°
Çözüm: Üçgenin iç açıları toplamı 180° olmalıdır. 30° + 60° + x = 180° → x = 90°.
Soru 3: Aşağıdaki açı-kenar kombinasyonlarından hangisi ile tek bir üçgen çizilebilir?
a) 40°, 60°, 80° ve 5 cm, 7 cm, 10 cm
b) 50°, 50°, 80° ve 4 cm, 4 cm, 6 cm
c) 30°, 70°, 80° ve 3 cm, 5 cm, 9 cm
d) 45°, 45°, 90° ve 5 cm, 5 cm, 12 cm
Cevap: b) 50°, 50°, 80° ve 4 cm, 4 cm, 6 cm
Çözüm: Seçenek b'de hem açılar toplamı 180°'yi sağlar hem de kenarlar üçgen eşitsizliğine uyar (4+4>6, 4+6>4).
Soru 4: \( \triangle ABC \)'de |AB|=8 cm, |BC|=5 cm ve m(\( \angle B \))=120° veriliyor. Bu üçgenin çizilebilmesi için |AC| kenarı hangi aralıkta olmalıdır?
a) 3 < |AC| < 13
b) 5 < |AC| < 8
c) 7 < |AC| < 12
d) 10 < |AC| < 15
Cevap: a) 3 < |AC| < 13
Çözüm: Kosinüs teoremine göre \( |AC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos120° \). Ancak temel üçgen eşitsizliğinden |8-5| < |AC| < 8+5 → 3 < |AC| < 13 yeterlidir.
