Yeni Nesil 2026 TYT: Çember Denklemi Sorularında "Tam Kareye Tamamlama" Tekniği Nedir?

Question

Çember denklemi sorularında tam kareye tamamlama tekniği diye bir şey varmış. Bu teknik ne işe yarıyor ve sorularda nasıl kullanılıyor, anlamadım.

Answer 1

🎯 Çember Denklemi Nedir?

Çember denklemi, bir çemberin analitik düzlemdeki matematiksel ifadesidir. Merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin denklemi şöyledir:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Bu denklemde:

• 📍 $x$ ve $y$, çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır.
• 📍 $a$ ve $b$, çemberin merkezinin koordinatlarıdır.
• 📍 $r$, çemberin yarıçapıdır.

🧮 Tam Kareye Tamamlama Tekniği Ne İşe Yarar?

Bazen çember denklemi, yukarıdaki standart formda verilmez. Örneğin, şöyle bir denklemle karşılaşabiliriz:

$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$

Bu denklemin bir çember denklemi olduğunu anlamak ve merkezini, yarıçapını bulmak için "tam kareye tamamlama" tekniğini kullanırız. Bu teknik, denklemi standart forma dönüştürmemize yardımcı olur.

⚙️ Tam Kareye Tamamlama Adımları

Tam kareye tamamlama tekniğini kullanarak bir çember denklemini nasıl standart forma getirebileceğimizi adım adım inceleyelim:

1. Adım: $x$ ve $y$ Terimlerini Gruplandır

İlk olarak, $x$ terimlerini ve $y$ terimlerini yan yana getirelim. Sabit terimi de eşitliğin diğer tarafına atalım:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$

2. Adım: Tam Kareye Tamamla

Şimdi hem $x$ terimleri için hem de $y$ terimleri için tam kare oluşturacağız. Bir ifadeyi tam kareye tamamlamak için şu adımları izleriz:

• ➕ $x$ terimleri için: $x$'in katsayısının yarısının karesini alıp ekleyeceğiz. $x$'in katsayısı -4, yarısı -2, karesi 4. O zaman 4 ekleyeceğiz.
• ➕ $y$ terimleri için: $y$'nin katsayısının yarısının karesini alıp ekleyeceğiz. $y$'nin katsayısı 6, yarısı 3, karesi 9. O zaman 9 ekleyeceğiz.

Ancak, eşitliğin bir tarafına bir sayı eklersek, diğer tarafına da aynı sayıyı eklememiz gerekir. O halde:

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9$

3. Adım: İfadeyi Tam Kare Olarak Yaz

Şimdi parantez içindeki ifadeleri tam kare olarak yazabiliriz:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

4. Adım: Merkezi ve Yarıçapı Belirle

Denklemimiz artık standart formda. Buradan çemberin merkezinin $(2, -3)$ ve yarıçapının $\sqrt{25} = 5$ olduğunu görebiliriz.

💡 Örnek Soru Çözümü

Şimdi bir örnek soru üzerinde tam kareye tamamlama tekniğini nasıl kullanacağımızı görelim:

Soru: $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$ denklemi ile verilen çemberin merkezi ve yarıçapı nedir?

Çözüm:

1. Adım 1: $x$ ve $y$ terimlerini gruplandır: $(x^2 + 8x) + (y^2 - 2y) = -8$
2. Adım 2: Tam kareye tamamla:
   • $x$ için: $(8/2)^2 = 16$
   • $y$ için: $(-2/2)^2 = 1$
   $(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 2y + 1) = -8 + 16 + 1$
3. Adım 3: İfadeyi tam kare olarak yaz: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9$
4. Adım 4: Merkezi ve yarıçapı belirle:
   • Merkez: $(-4, 1)$
   • Yarıçap: $\sqrt{9} = 3$

Bu nedenle, çemberin merkezi $(-4, 1)$ ve yarıçapı 3'tür.

🏆 Yeni Nesil TYT Sorularında Tam Kareye Tamamlama

Yeni nesil TYT soruları, bilgiyi farklı bağlamlarda kullanmayı ve problem çözme becerilerini ölçmeyi hedefler. Çember denklemi sorularında da tam kareye tamamlama tekniği, denklemi manipüle etme ve geometrik yorumlar yapma becerilerini gerektirdiği için sıkça karşımıza çıkar.

Bu tekniği iyi öğrenerek, çember denklemi sorularında daha hızlı ve doğru çözümler üretebilirsiniz. Bol pratik yaparak bu konudaki yeteneğinizi geliştirebilirsiniz!