Karmaşık sayılar, gerçek sayılar kümesini genişleterek, $i = \sqrt{-1}$ sanal birimi içerir. Genel formu $a + bi$ şeklindedir; burada $a$ gerçek kısım ve $b$ sanal kısımdır. Karmaşık düzlem ise, karmaşık sayıları geometrik olarak temsil etmemizi sağlar. Yatay eksen (x-ekseni) gerçek kısmı, dikey eksen (y-ekseni) ise sanal kısmı temsil eder.
Karmaşık düzlemde bir çemberin denklemi, merkez ve yarıçap cinsinden ifade edilebilir. Merkezi $z_0 = a + bi$ olan ve yarıçapı $r$ olan bir çember üzerindeki her $z = x + yi$ karmaşık sayısı için $|z - z_0| = r$ eşitliği geçerlidir. Bu ifade, $z$ noktasının $z_0$ merkezine olan uzaklığının $r$ yarıçapına eşit olduğunu belirtir.
Karmaşık düzlemde alan hesaplama, genellikle integral yöntemleri veya geometrik yaklaşımlar kullanılarak yapılır. Eğer alan, karmaşık bir fonksiyonun belirli bir eğri üzerindeki integrali ile ifade edilebiliyorsa, Cauchy integral formülü gibi araçlar kullanılabilir. Daha basit geometrik şekiller için, temel geometri bilgileri yeterli olabilir.
Karmaşık düzlemde, merkezi orijin $(0, 0)$ olan ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin alanı, bildiğimiz $\pi r^2$ formülü ile hesaplanır. Ancak, karmaşık integral kullanarak da bu alana ulaşılabilir. Çemberin parametrik denklemi $z(t) = re^{it}$, $0 \leq t \leq 2\pi$ şeklinde ifade edilebilir. Alanı hesaplamak için Green teoremi veya benzeri yöntemler kullanılabilir, ancak bu yöntemler daha karmaşıktır ve temel alan formülüne kıyasla daha az pratiktir.
Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemdeki bölgeleri başka bölgelere dönüştürebilir. Eğer bir $f(z)$ fonksiyonu, bir $D$ bölgesini $E$ bölgesine birebir ve örten bir şekilde dönüştürüyorsa, $E$ bölgesinin alanı, $D$ bölgesinin alanı ile $f'(z)$'nin mutlak değerinin karesinin integrali alınarak bulunabilir. Bu, karmaşık analizdeki önemli bir sonuçtur ve alan hesaplamada güçlü bir araçtır.
