Yeni Nesil TYT: Analitik Düzlemde Dörtgen Alanı Köşe Koordinatlarıyla Hesaplama Yöntemleri

Question

Analitik düzlemde dörtgen alanını köşe koordinatlarıyla hesaplama yöntemlerini anlamakta zorlanıyorum. Daha basit bir anlatımla öğrenebilir miyim?

Answer 1

🔷 Analitik Düzlemde Dörtgen Alanı: Köşe Koordinatlarıyla Hesaplama Yöntemleri

Merhaba gençler! Bugün, analitik düzlemde verilen dörtgenlerin alanlarını köşe koordinatlarını kullanarak nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz. Hazırsanız, başlayalım!

📐 Determinant Yöntemiyle Alan Hesaplama

Bu yöntem, özellikle dörtgenin köşelerinin koordinatları biliniyorsa çok işimize yarar. İşte adım adım nasıl yapacağımız:

• 📌 Öncelikle dörtgenin köşe koordinatlarını saat yönünün tersine (veya saat yönünde) olacak şekilde sıralayın. Köşelerimiz A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) ve D(x₄, y₄) olsun.
• 📝 Şimdi aşağıdaki determinantı oluşturacağız:
  
  $\frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_4y_3 + x_1y_4)|$
  
  
• ➕ Bu determinantın mutlak değerini alarak dörtgenin alanını buluruz. Unutmayın, alan negatif olamaz!

Örnek: Köşe koordinatları A(1, 2), B(4, 5), C(7, 2) ve D(4, -1) olan bir dörtgenin alanını bulalım.

Alan = $\frac{1}{2} |(1*5 + 4*2 + 7*(-1) + 4*2) - (4*2 + 7*5 + 4*2 + 1*(-1))|$

Alan = $\frac{1}{2} |(5 + 8 - 7 + 8) - (8 + 35 + 8 - 1)|$

Alan = $\frac{1}{2} |14 - 50| = \frac{1}{2} |-36| = 18$ birim kare.

🧩 Üçgenlere Ayırma Yöntemi

Eğer dörtgen karmaşık bir şekle sahipse, onu iki üçgene ayırarak da alanını bulabiliriz. İşte nasıl:

• ✂️ Dörtgeni bir köşegen çizerek iki üçgene ayırın. Örneğin, AC köşegenini çizebiliriz.
• 📐 Her bir üçgenin alanını ayrı ayrı hesaplayın. Üçgenin alanını bulmak için köşe koordinatlarını kullanarak determinant yöntemini uygulayabiliriz:
  
  Alan = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
  
  
• ➕ İki üçgenin alanlarını toplayarak dörtgenin toplam alanını elde edin.

Örnek: Aynı A(1, 2), B(4, 5), C(7, 2) ve D(4, -1) dörtgenini ele alalım. AC köşegenini çizerek iki üçgen elde edelim: ABC ve ADC.

ABC Üçgeninin Alanı:

Alan = $\frac{1}{2} |1(5 - 2) + 4(2 - 2) + 7(2 - 5)|$

Alan = $\frac{1}{2} |3 + 0 - 21| = \frac{1}{2} |-18| = 9$

ADC Üçgeninin Alanı:

Alan = $\frac{1}{2} |1(2 - (-1)) + 7(-1 - 2) + 4(2 - 2)|$

Alan = $\frac{1}{2} |3 - 21 + 0| = \frac{1}{2} |-18| = 9$

Dörtgenin Alanı = 9 + 9 = 18 birim kare.

📝 Önemli İpuçları

• ✅ Koordinatları doğru sıraladığınızdan emin olun (saat yönünde veya tersi).
• ➕ Mutlak değeri almayı unutmayın, alan negatif olamaz.
• 📐 Karmaşık şekillerde üçgenlere ayırma yöntemi daha kolay olabilir.

Umarım bu yöntemler, analitik düzlemde dörtgenlerin alanını hesaplamanıza yardımcı olur. Başarılar!