2026 TYT: Açıortay Teoremi ve Özel Üçgenler (30-60-90, 45-45-90) Uygulamaları

Question

Açıortay teoremi ve özel üçgenler (30-60-90, 45-45-90) konularını biliyorum ama uygulamada zorlanıyorum. Sorularda nasıl kullanacağımı tam olarak kestiremiyorum.

Answer 1

📐 Açıortay Teoremi Nedir?

Açıortay teoremi, bir üçgenin iç açısını iki eş parçaya bölen doğrunun (açıortayın) karşı kenarı nasıl böldüğünü açıklar.

• 📌 İç Açıortay Teoremi: Bir üçgende, bir iç açının açıortayı karşı kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları oranıyla doğru orantılı olarak böler. Yani, eğer bir ABC üçgeninde A açısının açıortayı BC kenarını D noktasında kesiyorsa, şu oran geçerlidir: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
• 📝 Dış Açıortay Teoremi: Bir üçgende, bir dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısını, diğer iki kenarın uzunlukları oranıyla doğru orantılı olarak böler.

✍️ Açıortay Teoremi Uygulamaları

Açıortay teoremini daha iyi anlamak için birkaç örnek inceleyelim:

Örnek 1:

ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 7 cm olsun. A açısının açıortayı BC kenarını D noktasında kesiyor. |BD| uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Açıortay teoremine göre, $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$.

Buradan $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ olur.

Ayrıca $|BD| + |DC| = |BC| = 7$ cm'dir.

$|BD| = 3x$ ve $|DC| = 4x$ dersek, $3x + 4x = 7$ olur. Buradan $x = 1$ bulunur.

Dolayısıyla $|BD| = 3x = 3 \cdot 1 = 3$ cm'dir.

📐 Özel Üçgenler

Özel üçgenler, belirli açılara ve kenar uzunluklarına sahip olan ve bu özellikleri sayesinde çeşitli geometrik problemlerin çözümünde kolaylık sağlayan üçgenlerdir.

• ⭐ 30-60-90 Üçgeni: Açılarının ölçüleri 30°, 60° ve 90° olan dik üçgendir. Bu üçgende, 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı uzunluğundadır ve 60°'nin karşısındaki kenar ise 30°'nin karşısındaki kenarın $\sqrt{3}$ katıdır.
• ⭐ 45-45-90 Üçgeni: Açılarının ölçüleri 45°, 45° ve 90° olan dik üçgendir. Bu üçgen aynı zamanda bir ikizkenar dik üçgendir. 45°'lik açılarının karşısındaki kenarlar birbirine eşit uzunluktadır ve hipotenüs, bu kenarlardan birinin $\sqrt{2}$ katıdır.

✍️ Özel Üçgenler Uygulamaları

Örnek 1 (30-60-90 Üçgeni):

Bir 30-60-90 üçgeninde, 30°'nin karşısındaki kenar 5 cm ise, hipotenüs ve 60°'nin karşısındaki kenarın uzunluklarını bulun.

Çözüm:

30°'nin karşısındaki kenar 5 cm ise, hipotenüs $2 \cdot 5 = 10$ cm'dir.

60°'nin karşısındaki kenar ise $5\sqrt{3}$ cm'dir.

Örnek 2 (45-45-90 Üçgeni):

Bir 45-45-90 üçgeninde, dik kenarlardan birinin uzunluğu 7 cm ise, hipotenüsün uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Dik kenarlardan birinin uzunluğu 7 cm ise, hipotenüs $7\sqrt{2}$ cm'dir.

🤝 Açıortay Teoremi ve Özel Üçgenlerin Birlikte Kullanımı

Bu iki konuyu birleştiren sorular, genellikle geometrik şekillerde verilen bilgileri kullanarak bilinmeyen uzunlukları bulmayı gerektirir.

Örnek:

ABC üçgeninde, A açısı 60° ve B açısı 45°'dir. A açısından çizilen açıortay BC kenarını D noktasında kesiyor. |AB| = 10 cm ise, |AD| uzunluğunu bulun.

Bu tür soruları çözmek için:

• 📐 Üçgenin diğer açılarını bulun.
• 📐 Açıortay teoremini kullanarak kenarlar arasındaki oranları belirleyin.
• 📐 Özel üçgenlerin özelliklerini kullanarak bilinmeyen uzunlukları hesaplayın.