🧮 2026 TYT: Daire İçinde Rastgele Seçilen İki Nokta Arasındaki Uzaklığın Belirli Bir Değerden Küçük Olma Olasılığı
Bu problem, olasılık ve geometriyi bir araya getiren eğlenceli bir soru türüdür. Temel mantığı anlamak için adımları takip edelim.
🎯 Problem Nedir?
Dairenin içinde rastgele iki nokta seçiyoruz. Bu iki nokta arasındaki mesafenin belirli bir uzunluktan (örneğin, dairenin yarıçapından) daha kısa olma olasılığını bulmaya çalışıyoruz.
📐 Çözüme Giden Yol
Bu tür problemleri çözmek için bazı temel kavramlara ihtiyacımız var:
- 📏 Olasılık: Bir olayın gerçekleşme şansını ifade eder. Olasılık, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır.
- 🔵 Dairenin Alanı: Bir dairenin alanı $\pi r^2$ formülü ile bulunur. Burada $r$ dairenin yarıçapıdır.
- 📐 Geometrik Olasılık: Geometrik şekillerle ifade edilen olasılık problemlerinde, alan veya uzunluk oranları kullanılarak olasılık hesaplanır.
✍️ Çözüm Adımları
Bu problemi çözmek için şu adımları izleyebiliriz:
- 📍 Birinci Noktayı Sabitleme: İlk olarak, dairenin içinde rastgele bir nokta seçelim ve bu noktayı sabitleyelim. Bu nokta, dairenin merkezi olabilir veya herhangi bir yer olabilir.
- 📏 İkinci Nokta İçin Koşul Belirleme: İkinci noktanın, birinci noktaya olan uzaklığının belirli bir değerden (diyelim ki $d$) küçük olmasını istiyoruz. Bu, birinci nokta merkezli ve $d$ yarıçaplı bir daire oluşturur.
- 🔵 Alanları Hesaplama:
- Tüm olası durumlar: İkinci noktanın dairenin herhangi bir yerinde olabilmesi demektir. Bu durumda tüm dairenin alanı ($\pi r^2$) bizim için tüm olası durumları temsil eder.
- İstenen durumlar: İkinci noktanın, birinci nokta etrafındaki $d$ yarıçaplı dairenin içinde olmasıdır. Bu durumda istenen alan $\pi d^2$ olur.
- ➗ Olasılığı Hesaplama: Olasılık, istenen alanın tüm alana oranıdır:
$Olasılık = \frac{İstenen\ Alan}{Tüm\ Alan} = \frac{\pi d^2}{\pi r^2} = \frac{d^2}{r^2}$
💡 Örnek
Diyelim ki dairenin yarıçapı $r = 5$ cm ve iki nokta arasındaki mesafenin 2 cm'den küçük olmasını istiyoruz ($d = 2$ cm). Bu durumda olasılık:
$Olasılık = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$
Yani, rastgele seçilen iki nokta arasındaki mesafenin 2 cm'den küçük olma olasılığı $\frac{4}{25}$'tir.
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
* Problemde verilen uzunluk birimlerine dikkat edin.
* Alan hesaplamalarında doğru formülleri kullandığınızdan emin olun.
* Olasılık değerinin 0 ile 1 arasında olduğundan emin olun.
🤔 Daha Karmaşık Durumlar
Bu temel örnek, daire içindeki noktalar arasındaki uzaklık olasılığına giriş niteliğindedir. Daha karmaşık problemler, integral hesabı veya daha gelişmiş geometrik yöntemler gerektirebilir. Ancak temel mantık her zaman aynıdır: İstenen durumları ve tüm olası durumları doğru bir şekilde belirleyip oranlamak.
