2026 TYT: Karmaşık Düzlemde Çemberin Merkezi Nasıl Bulunur?

Question

Karmaşık düzlemde çemberin merkezini nasıl bulacağımı bilmiyorum. Formüller havada uçuşuyor, nereden başlayacağımı şaşırdım.

Answer 1

🔵 Karmaşık Düzlem Nedir?

Karmaşık düzlem, sayıları farklı bir şekilde göstermemizi sağlayan özel bir düzlemdir. Normalde kullandığımız sayı doğrusunda sadece reel (gerçek) sayıları gösteririz. Karmaşık düzlemde ise hem reel (gerçek) hem de sanal sayıları aynı anda gösterebiliriz.

• 📍 Reel Eksen: Yatay eksendir ve bildiğimiz sayıları (1, 2, -3 gibi) gösterir.
• 📍 Sanal Eksen: Dikey eksendir ve sanal sayıları (i, 2i, -5i gibi) gösterir. "i", kök -1 anlamına gelir.
• 📍 Karmaşık Sayı: Bir reel sayı ve bir sanal sayının toplamıdır. Örneğin, 3 + 2i bir karmaşık sayıdır.

🟣 Çemberin Denklemi

Karmaşık düzlemde bir çemberin denklemi, merkezini ve yarıçapını kullanarak ifade edilir. Bu denklem, çember üzerindeki tüm noktaların merkezden aynı uzaklıkta olduğunu gösterir.

Bir karmaşık sayı $z = x + iy$ olsun. Merkezi $z_0 = a + ib$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin denklemi şu şekildedir:

$|z - z_0| = r$

Burada:

• 📌 $|z - z_0|$, $z$ ve $z_0$ arasındaki uzaklığı (yani, çember üzerindeki bir noktanın merkeze olan uzaklığını) temsil eder.
• 📌 $r$, çemberin yarıçapıdır.

Bu denklemi açarsak:

$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$

Veya karesini alırsak:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Bu, bildiğimiz analitik geometrideki çember denklemine çok benzer!

🟠 Merkezi Bulma Yöntemleri

Karmaşık düzlemdeki bir çemberin merkezini bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz:

📒 Denklemden Bulma

Eğer çemberin denklemi verilmişse, merkezi kolayca bulabiliriz. Örneğin, denklem şöyleyse:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$

Bu durumda merkez (2, -3) noktasıdır. Yani $z_0 = 2 - 3i$'dir.

📒 Geometrik Yöntemler

Eğer çemberin denklemi verilmemişse, geometrik yöntemlerle de merkezi bulabiliriz. Örneğin:

• 📐 Çember üzerindeki üç noktayı biliyorsak, bu üç noktadan geçen çemberin merkezini bulabiliriz. Bu, üçgenin çevrel çemberinin merkezini bulmaya benzer.
• 📐 Çemberin çapını biliyorsak, çapın orta noktası çemberin merkezidir.

📒 Örnek Soru

Karmaşık düzlemde, $|z - (1 + i)| = 2$ denklemi ile verilen çemberin merkezi nedir?

Çözüm:

Denklemdeki $z_0$ değeri merkezdir. Bu durumda $z_0 = 1 + i$'dir. Yani merkez (1, 1) noktasıdır.

💚 TYT'de Karşılaşabileceğin İpuçları

• 💡 Soruları dikkatlice oku ve verilen bilgileri doğru anla.
• 💡 Karmaşık sayıları $x + iy$ şeklinde yazarak reel ve sanal kısımlarını ayır.
• 💡 Çemberin denklemini hatırlamak ve uygulamak önemlidir.
• 💡 Geometrik yöntemleri kullanırken çizim yapmak, soruyu daha iyi anlamana yardımcı olabilir.