📐 2026 TYT'ye Hazırlık: Kosinüs Formülleri Rehberi
Kosinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi açıklar. Bu teorem, özellikle dik olmayan üçgenlerde kenar uzunluklarını veya açıları bulmak için çok işimize yarar.
🤔 Kosinüs Teoremi Nedir?
Kosinüs teoremi şu şekilde ifade edilir: Bir üçgenin herhangi bir kenarının karesi, diğer iki kenarının karelerinin toplamından, bu iki kenarın uzunluklarının çarpımının iki katı ile bu kenarlar arasındaki açının kosinüsünün çıkarılmasına eşittir.
* $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$
* $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(B)$
* $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(C)$
Burada $a$, $b$, ve $c$ üçgenin kenar uzunluklarını, $A$, $B$, ve $C$ ise bu kenarların karşısındaki açıları temsil eder.
❓ Hangi Durumlarda Kosinüs Teoremi Kullanılır?
Kosinüs teoremini kullanabileceğimiz bazı durumlar şunlardır:
- 📐 Üç kenar uzunluğu biliniyorsa: Eğer bir üçgenin üç kenar uzunluğunu da biliyorsak, herhangi bir açısını bulmak için kosinüs teoremini kullanabiliriz.
- 📏 İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı biliniyorsa: İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açıyı biliyorsak, üçüncü kenar uzunluğunu bulmak için kosinüs teoremini kullanabiliriz.
📝 Kosinüs Formülleri ve Kullanım Alanları
Şimdi de kosinüs formüllerini ve hangi sorularda nasıl kullanabileceğimizi daha detaylı inceleyelim:
📐 Bir Açıyı Bulmak İçin
Eğer üç kenar uzunluğunu biliyorsak, aşağıdaki formülü kullanarak bir açıyı bulabiliriz:
$cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
Örneğin, kenar uzunlukları $a=5$, $b=7$, ve $c=8$ olan bir üçgenin $A$ açısını bulmak için bu formülü kullanabiliriz.
📏 Bir Kenar Uzunluğunu Bulmak İçin
İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açıyı biliyorsak, aşağıdaki formülü kullanarak üçüncü kenar uzunluğunu bulabiliriz:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$
Örneğin, $b=4$, $c=6$ ve $A = 60^\circ$ olan bir üçgenin $a$ kenarını bulmak için bu formülü kullanabiliriz.
💡 Örnek Soru Çözümleri
Şimdi de kosinüs teoremi ile ilgili birkaç örnek soru çözelim:
Soru 1: Bir $ABC$ üçgeninde $a=3$, $b=4$, ve $c=5$ ise, $cos(C)$ kaçtır?
Çözüm:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(C)$ formülünü kullanarak:
$5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos(C)$
$25 = 9 + 16 - 24 \cdot cos(C)$
$0 = -24 \cdot cos(C)$
$cos(C) = 0$
Soru 2: Bir üçgende $b=8$, $c=5$ ve $A = 60^\circ$ ise, $a$ kaçtır?
Çözüm:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$ formülünü kullanarak:
$a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot cos(60^\circ)$
$a^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2}$
$a^2 = 89 - 40$
$a^2 = 49$
$a = 7$
🏆 Unutma!
Kosinüs teoremi, üçgenlerle ilgili problemleri çözerken elimizi güçlendiren önemli bir araçtır. Bol bol pratik yaparak bu teoremi daha iyi anlayabilir ve farklı soru tiplerinde rahatlıkla kullanabilirsin. Başarılar!
