30-60-90 üçgeni, açıları 30°, 60° ve 90° olan özel bir dik üçgendir. Bu tür üçgenlerin kenar uzunlukları arasında sabit ve kolay bir oran bulunur, bu da onları problem çözerken çok kullanışlı kılar.
Bir 30-60-90 üçgeninin kenarları her zaman aşağıdaki sabit orana göre sıralanır:
Bu oranı \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) şeklinde ifade edebiliriz.
Bu üçgeni çözmek, verilen herhangi bir kenar uzunluğundan yola çıkarak diğer iki kenarı bulmak anlamına gelir. İşte adım adım yöntem:
1. Adım: Üçgende hangi kenarın hangi açının karşısında olduğunu belirle.
2. Adım: Verilen kenar uzunluğunu (\( x \)) bulmak için yukarıdaki oranları kullan.
3. Adım: \( x \) değerini bulduktan sonra, diğer kenarları hesapla.
Örnek 1: Hipotenüsü 10 cm olan bir 30-60-90 üçgeninin diğer kenarlarını bulalım.
Örnek 2: 60° karşısındaki kenarı \( 6\sqrt{3} \) cm olan bir üçgenin diğer kenarlarını bulalım.
Örnek 3: 30° karşısındaki kenarı 4 birim olan bir üçgenin diğer kenarlarını bulalım.
Bu oranları kullanırken en çok yapılan hata, kenarların hangi açıların karşısında olduğunu karıştırmaktır. Her zaman en kısa kenar (x), en küçük açı olan 30°'nin karşısındadır. Hipotenüs ise her zaman en uzun kenardır.
Soru 1: Bir 30-60-90 üçgeninin hipotenüs uzunluğu 16 cm ise, bu üçgenin en kısa kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4 cm
b) 8 cm
c) 12 cm
d) 16 cm
Cevap: b) 8 cm
Çözüm: 30-60-90 üçgeninde kenar uzunlukları oranı \(1 : \sqrt{3} : 2\) şeklindedir. En kısa kenar (30° karşısı) \(x\) ise, hipotenüs (90° karşısı) \(2x\)'e eşittir. Hipotenüs 16 cm olduğuna göre, \(2x = 16\) ve \(x = 8\) cm bulunur.
Soru 2: Bir 30-60-90 üçgeninin 60°'lik açısının karşısındaki kenar \(6\sqrt{3}\) cm'dir. Buna göre, bu üçgenin çevresi kaç cm'dir?
a) \(18 + 6\sqrt{3}\)
b) \(18 + 12\sqrt{3}\)
c) \(12 + 6\sqrt{3}\)
d) \(6 + 12\sqrt{3}\)
Cevap: a) \(18 + 6\sqrt{3}\)
Çözüm: 60° karşısı \(x\sqrt{3}\) formülü ile bulunur. \(x\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) ise \(x = 6\)'dır. En kısa kenar (30° karşısı) \(x = 6\) cm, hipotenüs ise \(2x = 12\) cm'dir. Çevre = \(6 + 6\sqrt{3} + 12 = 18 + 6\sqrt{3}\) cm olur.
Soru 3: Aşağıdaki üçgenlerden hangisi bir 30-60-90 üçgeni olamaz?
a) Kenarları: 5 cm, \(5\sqrt{3}\) cm, 10 cm
b) Kenarları: 3 cm, \(3\sqrt{3}\) cm, 6 cm
c) Kenarları: 4 cm, \(4\sqrt{2}\) cm, 8 cm
d) Kenarları: 7 cm, \(7\sqrt{3}\) cm, 14 cm
Cevap: c) Kenarları: 4 cm, \(4\sqrt{2}\) cm, 8 cm
Çözüm: 30-60-90 üçgeninde kenarlar \(x\), \(x\sqrt{3}\), \(2x\) şeklinde olmalıdır. c seçeneğinde orta uzunluktaki kenar \(x\sqrt{2}\) şeklindedir. Bu, 45-45-90 (ikizkenar dik üçgen) özelliğidir ve 30-60-90 üçgeni olamaz.
Soru 4: Yandaki şekilde ABC dik üçgeninde |AB| = 12 cm ve m(∠BCA) = 30°'dir. Buna göre, |AC| hipotenüsünün uzunluğu kaç cm'dir?
a) \(8\sqrt{3}\)
b) 12
c) 16
d) \(12\sqrt{3}\)
Cevap: a) \(8\sqrt{3}\)
Çözüm: 30°'nin karşısındaki kenar (|AB|) en kısa kenardır (\(x\)). Hipotenüs |AC| ise \(2x\)'e eşittir. \(x = 12\) ise \(2x = 24\) olur. Ancak bu seçeneklerde yok. Soruda |AB| = 12 cm, 30°'nin karşısındaki kenar değil, hipotenüse ait yükseklik olabilir. Doğru yaklaşım: 30°'ye komşu kenar |BC| = \(x\sqrt{3}\), hipotenüs |AC| = \(2x\)'tir. |AB| (30° karşısı) = \(x = 12\) ise |AC| = \(2x = 24\) cm olur. Seçeneklerde 24 olmadığı için soruda |AB|'nin 30°'nin karşısındaki kenar olduğu varsayılarak çözüm yapılmıştır: \(x = 12\), hipotenüs \(2x = 24\). Seçenekler
