6. Sınıf Üçgende Bir Dış Açının Ölçüsü Kendisine Komşu Olmayan İki İç Açının Toplamına Neden Eşittir?

Question

Bu kuralın nedenini anlamakta zorlanıyorum. Dış açıyı hesaplarken neden komşu olmadığı halde diğer iki iç açıyı topluyoruz? İç açılar toplamının 180 derece olduğunu biliyorum ama bu ikisi arasındaki bağlantıyı tam kuramadım.

Answer 1

Üçgende Dış Açı Kuralı

Bir üçgenin herhangi bir kenarını uzattığımızda, bu uzantının oluşturduğu yeni açıya dış açı denir. Bu kural, bir dış açının ölçüsünün neden kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu açıklar.

Neden Böyledir?

Bunu anlamak için bir ABC üçgeni düşünelim. BC kenarını D noktasına kadar uzatalım. Böylece, C köşesinde iki açı oluşur:

• İç Açı: Üçgenin içinde kalan \( \widehat{ACB} \) açısı. Buna \( c \) diyelim.
• Dış Açı: Üçgenin dışında kalan \( \widehat{ACD} \) açısı. Buna \( d \) diyelim.

Bu iki açı (c ve d), BC doğru parçası üzerinde oldukları için bir doğru açı oluşturur. Doğru açının ölçüsü ise 180°'dir.

Yani: \( c + d = 180° \)

Aynı zamanda, bir üçgenin iç açıları toplamı da 180°'dir. ABC üçgeninin iç açılarına a, b ve c dersek:

\( a + b + c = 180° \)

Şimdi elimizde iki denklem var:

• 1. \( c + d = 180° \)
• 2. \( a + b + c = 180° \)

İki denklem de 180°'ye eşit olduğuna göre, birbirine eşitleyebiliriz:

\( c + d = a + b + c \)

Bu denklemin her iki tarafından da \( c \)'yi çıkarırsak:

\( c + d - c = a + b + c - c \)

\( d = a + b \)

Sonuç olarak, dış açının (d) ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının (a ve b) toplamına eşit olur.

Özet

• Bir dış açı ile ona komşu olan iç açı, birlikte 180° (doğru açı) yapar.
• Üçgenin tüm iç açılarının toplamı da 180°'dir.
• Bu iki bilgiyi birleştirdiğimizde, dış açının komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu ispatlamış oluruz.

Answer 2

6. Sınıf Üçgende Bir Dış Açının Ölçüsü Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki ABC üçgeninde, [BC kenarı D noktasına kadar uzatılmıştır. m(AB̂C) = 50° ve m(BÂC) = 60° ise, ACĈD dış açısının ölçüsü kaç derecedir?
a) 100°
b) 110°
c) 120°
d) 130°
Cevap: b) 110°
Çözüm: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. ACĈD dış açısının komşu olmadığı iç açılar, AB̂C (50°) ve BÂC (60°)'tir. Bu durumda dış açının ölçüsü 50° + 60° = 110° olur.

Soru 2: Bir üçgenin bir dış açısı 125°'dir. Bu dış açıya komşu olmayan iki iç açıdan birinin ölçüsü diğerinin 2 katıdır. Buna göre, küçük olan iç açı kaç derecedir?
a) 40°
b) 41,66°
c) 45°
d) 50°
Cevap: b) 41,66°
Çözüm: Küçük açıya \(x\) dersek, büyük açı \(2x\) olur. Dış açı kuralına göre: \(x + 2x = 125^\circ\). Bu denklemi çözersek: \(3x = 125^\circ\), \(x = 125^\circ / 3 \approx 41,66^\circ\).

Soru 3: Bir KLM üçgeninde, L köşesindeki dış açının ölçüsü 140°'dir. M köşesindeki iç açının ölçüsü 70° olduğuna göre, K köşesindeki iç açının ölçüsü kaç derecedir?
a) 60°
b) 70°
c) 80°
d) 90°
Cevap: b) 70°
Çözüm: L köşesindeki dış açı, kendisine komşu olmayan K ve M iç açılarının toplamına eşittir. \(m(\hat{K}) + m(\hat{M}) = 140^\circ\). \(m(\hat{M}) = 70^\circ\) olduğuna göre, \(m(\hat{K}) + 70^\circ = 140^\circ\). Buradan \(m(\hat{K}) = 140^\circ - 70^\circ = 70^\circ\) bulunur.

Soru 4: Bir PQR üçgeninde, R köşesindeki dış açı 115°'dir. P köşesindeki iç açı, Q köşesindeki iç açıdan 15° fazladır. Buna göre, Q köşesindeki iç açı kaç derecedir?
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
Cevap: b) 50°
Çözüm: R'deki dış açı, P ve Q iç açılarının toplamına eşittir: \(m(\hat{P}) + m(\hat{Q}) = 115^\circ\). \(m(\hat{P}) = m(\hat{Q}) + 15^\circ\) olduğundan, denklem \((m(\hat{Q}) + 15^\circ) + m(\hat{Q}) = 115^\circ\) olur. \(2 \times m(\hat{Q}) + 15^\circ = 115^\circ\) → \(2 \times m(\hat{Q}) = 100^\circ\) → \(m(\hat{Q}) = 50^\circ\).