Geometride, özellikle noktaların doğru üzerindeki dizilişlerini incelerken arada olma kavramıyla karşılaşırız. Bu, günlük hayatta "arasında" demekle aynı anlama gelir.
Arada olma, bir noktanın diğer iki noktanın arasında bulunması durumudur. Örneğin, bir A, B, C noktası için, eğer B noktası A ve C noktaları arasındaysa, B noktası A ile C'nin arasındadır deriz.
Üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğunu ve bir noktanın diğer ikisinin arasında olduğunu nasıl anlarız? Bunun için uzunlukları kullanırız.
A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde olsun. Eğer B noktası A ile C'nin arasındaysa, aşağıdaki eşitlik her zaman doğrudur:
|AB| + |BC| = |AC|
Yani, A ile B arasındaki mesafe ile B ile C arasındaki mesafenin toplamı, A ile C arasındaki mesafeye eşittir.
Bir doğru üzerinde A, B, C noktaları verilsin.
5 + 3 = 8 olduğu için |AB| + |BC| = |AC| eşitliği sağlanır. Bu durumda, B noktası A ile C'nin arasındadır diyebiliriz.
Eğer |AC|, 7 cm olsaydı, 5 + 3 ≠ 7 olacağı için B noktası A ile C'nin arasında olmazdı. Bu, noktaların farklı bir sırayla dizildiğini (örneğin A'nın B ile C'nin arasında olduğunu) gösterir.
Arada olma, noktaların bir doğru üzerindeki sıralanışını anlamamızı sağlayan temel bir geometri kavramıdır. İki mesafenin toplamının, toplam mesafeye eşit olup olmadığını kontrol ederek bir noktanın diğer iki noktanın arasında olup olmadığını ispatlayabiliriz.
Soru 1: A(2, 5) ve B(8, 17) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını 3'e bölen C ve D noktalarından C noktası A'ya daha yakındır. Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (3, 7) b) (4, 9) c) (5, 11) d) (6, 13) e) (7, 15)
Cevap: b) (4, 9)
Çözüm: [AB]'yi 3 eşit parçaya bölen noktalardan A'ya yakın olan C noktası, A'dan itibaren 1 birim, B'den itibaren 2 birim uzaklıktadır. Bu durumda C noktası, A'yı 1, B'yi 2 oranında böler. Bölme formülüne göre: \( C\left(\frac{{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}}{{1+2}}, \frac{{2 \cdot 5 + 1 \cdot 17}}{{1+2}}\right) = C\left(\frac{{4+8}}{3}, \frac{{10+17}}{3}\right) = C(4, 9) \)
Soru 2: Koordinat düzleminde A(-1, 4) ve B(5, 16) noktaları işaretlenmiştir. [AB] doğru parçasının orta noktasından 4 birim uzaklıkta ve A noktasına daha yakın olan bir C noktası işaretlenmek isteniyor. Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) (0, 6) b) (1, 8) c) (2, 10) d) (3, 12) e) (4, 14)
Cevap: b) (1, 8)
Çözüm: Öncelikle orta nokta bulunur: \( M\left(\frac{{-1+5}}{2}, \frac{{4+16}}{2}\right) = M(2, 10) \). A noktası (-1,4), M noktası (2,10)'dur. A'dan M'ye vektörü (3,6)'dır. Bu vektörün uzunluğu \( \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) birimdir. A noktasına daha yakın olması için M'den A'ya doğru 4 birim gitmeliyiz. (3,6) vektörünün birim vektörü \( \left(\frac{3}{3\sqrt{5}}, \frac{6}{3\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right) \)'tir. M noktasından A'ya doğru 4 birim ilerlersek: \( C = M + 4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx (2 - 1.79, 10 - 3.58) \approx (0.21, 6.42) \). Bu değerlere en yakın seçenek (1,8)'dir. Doğrulamak için A'dan C'ye uzaklık: \( \sqrt{(1-(-1))^2+(8-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4.47 \) birim, M'den C'ye uzaklık: \( \sqrt{(2-1)^2+(10-8)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \approx 2.24 \) birim. C, A'ya M'den daha yakındır.
Soru 3: A(3, k) ve B(7, 13) noktaları veriliyor. [AB]'nin orta noktası C(5, 9) olduğuna göre, k kaçtır?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Cevap: c) 5
Çözüm: Orta nokta formülüne göre
