9. Sınıf köklü gösterim ile yapılan işlemler nedir?

Question

9. sınıfta köklü sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapıyoruz ama aynı kök derecesine sahip olmayan ifadeleri nasıl işleme alacağımı karıştırıyorum. Ayrıca köklü sayıları üslü ifadeye çevirirken hangi kuralı uygulayacağım konusunda kafam karışıyor.

Answer 1

Köklü Gösterim ile Yapılan İşlemler

Köklü gösterim, bir sayının belirli bir dereceden kökünü ifade etmek için kullanılan matematiksel bir gösterimdir. Genel olarak \(\sqrt[n]{a}\) şeklinde yazılır. Burada:

• \(n\): Kökün derecesini (kaçıncı kök olduğunu) belirtir.
• \(a\): Kök içindeki sayıdır (radikand).

1. Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Köklü sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için kök dereceleri ve kök içindeki sayılar aynı olmalıdır. Örneğin:

• \(3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
• \(7\sqrt[3]{2} - 4\sqrt[3]{2} = (7-4)\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\)

Eğer kök dereceleri veya kök içindeki sayılar farklıysa, bu işlemler yapılamaz.

2. Köklü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Kök dereceleri aynı olan sayılar çarpılırken veya bölünürken kök içindeki sayılar çarpılır/bölünür:

• \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\)
• \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) (b ≠ 0)

Örnek:

• \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\)
• \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5\)

3. Köklü Sayıların Üssü

Bir köklü sayının üssü alınırken, kök içindeki sayının üssü alınır:

• \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)

Örnek:

• \((\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5\)
• \((\sqrt[3]{4})^3 = \sqrt[3]{4^3} = 4\)

4. Kök İçine Alma ve Kök Dışına Çıkarma

Bir sayıyı kök içine almak veya kök dışına çıkarmak için üslü ifadelerden yararlanılır:

• \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}\) (a ≥ 0)
• \(\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}\)

Örnek:

• \(2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}\)
• \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)

5. Kök Derecesini Genişletme veya Sadeleştirme

Kökün derecesi ve kök içindeki sayının üssü aynı sayıyla genişletilebilir veya sadeleştirilebilir:

• \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}\) (k ≠ 0)

Örnek:

Answer 2

9. Sınıf Köklü Gösterim ile Yapılan İşlemler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt{12} + \sqrt{27} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \( 5\sqrt{3} \)
b) \( 7\sqrt{3} \)
c) \( 3\sqrt{5} \)
d) \( 2\sqrt{15} \)
e) \( \sqrt{39} \)
Cevap: a) \( 5\sqrt{3} \)
Çözüm: \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) ve \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) şeklinde sadeleştirilir. Toplam \( 5\sqrt{3} \) eder.

Soru 2: \( \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} \) çarpımının sonucu kaçtır?
a) 12
b) 24
c) 36
d) 6
e) 144
Cevap: a) 12
Çözüm: \( \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12 \) şeklinde hesaplanır.

Soru 3: \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 5 \)
b) \( 2\sqrt{5} \)
c) \( 5\sqrt{2} \)
d) \( \sqrt{25} \)
e) \( 10 \)
Cevap: a) 5
Çözüm: \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \) olarak bulunur.

Soru 4: \( (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \) işleminin sonucu kaçtır?
a) 2
b) 8
c) \( 2\sqrt{15} \)
d) \( 5 - \sqrt{3} \)
e) \( \sqrt{2} \)
Cevap: a) 2
Çözüm: İki kare farkı formülüyle: \( (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \) elde edilir.